Class 11 Math Chapter 2 Important Questions Hindi

1. निम्नलिखित में से कौन f(x) = द्वारा परिभाषित फलन f का प्रांत है।
   1. R
   2. R⁺
   3. R⁻
   4. इनमें से कोई नहीं
2. यदि f(x) = x³ − तो f(x) + निम्नलिखित में से किसके बराबर है :
   1. 2x³
   3. 0
   4. 1
3. मान लीजिए कि n(A) = m और n(B) = n, तो A से B में परिभाषित किये जा सकने वाले अरिक्त संबंधों की कुछ संख्या
   1. mⁿ
   2. n^m − 1
   3. mn − 1
   4. 2^mn − 1
4. यदि [x] − 5[x] + 6 = 0, जहाँ प्रतीक [ ] महत्तम पूर्णांक फलन को निरूपित करता है, तो
   1. x ∈ [3, 4]
   2. x ∈ (2, 3]
   3. x ∈ [2, 3]
   4. x ∈ [2, 4)
5. f(x) = का परिसर = ? है।
   3. (−∞, −1) ∪
6. मान लीजिए कि f(x) = , तो
   1. f(xy) = f(x).f(y)
   2. f(xy) ≥ f(x).f(y)
   3. f(xy) ≤ f(x).f(y)
   4. इनमें से कोई नहीं
7. (a > 0) का प्रांत है
   1. (− a, a)
   2. [−a, a]
   3. [0, a]
   4. (− a, 0]
8. यदि f(x) = ax + b, जहाँ a और b पूर्णांक है। यदि f(−1) = −5 और f(3) = 3, तो
   1. a = − 3, b = − 1
   2. a = 2, b = − 3
   3. a = 0, b = 2
   4. a = 2, b = 3
9. f(x) = + द्वारा परिभाषित फलन f का प्रांत = ? है।
   1. (− ∞, − 1) ∪ (1, 4]
   2. (− ∞, − 1] ∪ (1, 4]
   3. (− ∞, − 1) ∪ [1, 4]
   4. (− ∞, − 1) ∪ [1, 4)
10. f(x) = द्वारा परिभाषित फलन f का प्रांत और परिसर निम्नलिखित प्रकार है,
    1. प्रांत = R, परिसर = {− 1, 1}
    2. प्रांत = R − 1, परिसर = R
    3. प्रांत = R − {4}, परिसर = {− 1}
    4. प्रांत = R − {− 4}, परिसर = {− 1, 1}
11. f(x) = द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f के प्रांत तथा परिसर निम्नलिखित प्रकार है,
    1. प्रांत = (1, ∞), परिसर = (0, ∞)
    2. प्रांत = [1, ∞), परिसर = (0, ∞)
    3. प्रांत = [1, ∞), परिसर = [0, ∞)
    4. प्रांत = [1, ∞), परिसर = [0, ∞)
12. f(x) = द्वारा प्रदत्त फलन f का प्रांत
    1. R − {3, − 2}
    2. R − {− 3, 2}
    3. R − [3, − 2]
    4. R − (3, − 2)
13. f(x) = 2 − |x − 5| द्वारा प्रदत्त फलन f का प्रांत तथा परिसर निम्नलिखित प्रकार है,
    1. प्रांत = R⁺, परिसर = (− ∞, 1]
    2. प्रांत = R, परिसर = (− ∞, 2]
    3. प्रांत = R, परिसर = (− ∞, 2)
    4. प्रांत = R⁺, परिसर = (− ∞, 2]
14. वह प्रांत जिसके लिए f(x) = 3x² − 1 तथा g(x) = 3 + x द्वारा परिभाषित फलन f तथा g समान हैं,
15. मान लीजिए [x] महत्तम पूर्णांक फलन को द्योतित करता है। अंतराल [0, 2] में समीकरण x² − 4x + [x] = 0 के हलों की संख्या कितनी है? NDA-1 2018
    1. शून्य (कोई हल नहीं)
    2. एक
    3. दो
    4. तीन
16. यदि f एक फलन है, तो f का प्रांत क्या है यदि f(x) = है? NDA-1 2018
    1. (− ∞, 0)
    2. (0, ∞)
    3. (− ∞, ∞)
    4. (− ∞, 0]

x और y के सभी धनात्मक वास्तिवक मानों के लिए फलन f(x), = को संतुष्ट करता है और f(2) = 3. NDA-1 2025

17. f(16) किसके बराबर है?
    1. 18
    2. 27
    3. 54
    4. 81
18. f(1) f(4) किसके बराबर है?
    1. 4
    2. 8
    3. 9
    4. 18

x और y के सभी धनात्मक वास्तिवक मानों के लिए एक फलन f इस प्रकार है कि f(xy) = f(x + y) और f(5) = 10. NDA-1 2025

19. f(0) किसके बराबर है?
    1. 0
    2. 1
    3. 5
    4. 10
20. f(20) + f(−20) किसके बराबर है?
    1. 0
    2. 10
    3. 20
    4. 40

NDA-1 2018 ​

1. मान लीजिए [x] महत्तम पूर्णांक फलन को द्योतित करता है। अंतराल [0, 2] में समीकरण x² − 4x + [x] = 0 के हलों की संख्या कितनी है?
   1. शून्य (कोई हल नहीं)
   2. एक
   3. दो
   4. तीन
2. यदि f एक फलन है, तो f का प्रांत क्या है यदि f(x) = है?
   1. (− ∞, 0)
   2. (0, ∞)
   3. (− ∞, ∞)
   4. (− ∞, 0]

पहले प्रश्न का सही उत्तर b. एक है और दूसरे प्रश्न का सही उत्तर 1. (− ∞, 0) है। ​

1. अंतराल में के हलों की संख्या ​

चरण 1: अंतराल को उप-अंतरालों में विभाजित करना महत्तम पूर्णांक फलन का मान पूर्णांकों पर बदलता है। अंतराल को हम तीन भागों में विभाजित करेंगे:

• स्थिति I: यहाँ होगा। समीकरण बनेगा:यहाँ होगा। समीकरण बनेगा:
• (अंतराल से बाहर है)
  • (अंतराल से बाहर है) अतः इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
• स्थिति III: यहाँ होगा। समीकरण में रखने पर:

सही विकल्प: b. एक

2. फलन का प्रांत (Domain) ​

चरण 1: हर (Denominator) को परिभाषित करना वास्तविक फलन के लिए वर्गमूल के अंदर की संख्या हमेशा धनात्मक (positive) होनी चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए:

चरण 2: मापांक (Modulus) फलन का विश्लेषण मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार:

• यदि हो, तो होता है। इस स्थिति में जो कि असत्य है।
• यदि हो, तो होता है। इस स्थिति में (जैसे रखने पर ) जो कि हमेशा सत्य है।

अतः फलन केवल तभी परिभाषित होगा जब का मान ऋणात्मक हो ()। अंतराल के रूप में इसे लिखा जाएगा। सही विकल्प: 1. (− ∞, 0)

✅ उत्तर ​

पहले प्रश्न का उत्तर एक (b) है और दूसरे प्रश्न का प्रांत (1) है। क्या आप महत्तम पूर्णांक फलन ([x]) के कुछ और उदाहरणों को हल करना चाहते हैं? क्या आपको मापांक फलन (|x|) के ग्राफ़ को समझने में सहायता चाहिए? क्या आप किसी अन्य अंतराल आधारित प्रश्न का अभ्यास करना चाहेंगे?

97

NDA-1 2025 ​

प्रश्न 1 ​

x और y के सभी धनात्मक वास्तिवक मानों के लिए फलन f(x), = को संतुष्ट करता है और f(2) = 3.

1. f(16) किसके बराबर है?
   1. 18
   2. 27
   3. 54
   4. 81
2. f(1) f(4) किसके बराबर है?
   1. 4
   2. 8
   3. 9
   4. 18

हल 1 ​

दिया गया है:

मान लें :

समीकरण को बदलने पर:

के लिए:

सही विकल्प: d. 81

हल 2 ​

ऊपर दिए गए चरणों से:

के लिए:

की गणना:

सही विकल्प: c. 9 क्या आप इसके बाद इसी तरह की कोई अन्य फलन समस्या (function problem) हल करना चाहते हैं? क्या आपको यह समझने के लिए औपचारिक गणितीय प्रमाण (formal mathematical proof) की आवश्यकता है कि यहाँ कैसे लागू हुआ? क्या हम यह देखना चाहेंगे कि यदि फलन में भाग के स्थान पर जोड़ का उपयोग हो तो हल कैसे बदलेगा?

प्रश्न 2 ​

x और y के सभी धनात्मक वास्तिवक मानों के लिए एक फलन f इस प्रकार है कि f(xy) = f(x + y) और f(5) = 10.

1. f(0) किसके बराबर है?
   1. 0
   2. 1
   3. 5
   4. 10
2. f(20) + f(−20) किसके बराबर है?
   1. 0
   2. 10
   3. 20
   4. 40

हल 1 ​

समीकरण में रखने पर:

यह दर्शाता है कि फलन एक अचर फलन (constant function) है, जिसका मान सभी के लिए समान रहता है। चूँकि दिया गया है, इसलिए फलन का नियत मान होगा:

सही विकल्प: d. 10

हल 2 ​

चूँकि फलन एक अचर फलन है और प्रत्येक मान के लिए इसका उत्तर है:

अब दोनों का योग करने पर:

सही विकल्प: c. 20 क्या आप अचर फलन (constant function) के अन्य गुणों को समझना चाहते हैं? क्या आप किसी अन्य बीजगणितीय फलन (algebraic function) का अभ्यास करना चाहते हैं? क्या आपको इसके ग्राफिकल व्यवहार को समझने में कोई सहायता चाहिए?