⭕ अध्याय 10: वृत्त (Circles) ​

एक तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह, जो तल के एक स्थिर बिंदु से एक अचर (निश्चित) दूरी पर स्थित हों, एक वृत्त कहलाता है। स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र (Center) और निश्चित दूरी को वृत्त की त्रिज्या (Radius) कहते हैं।

1. वृत्त से संबंधित बुनियादी परिभाषाएँ (Basic Terms) 🧱📍⭐⭐⭐⭐⭐ ​

एक वृत्त को गहराई से समझने के लिए उसके अंगों (भागों) को जानना आवश्यक है:

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[ वृत्त के मुख्य भाग ]│—————————————————————–│ │ │ │ │1. जीवा (Chord) 2. व्यास (Diameter) 3. चाप (Arc) 4. वृत्तखंड (Segment) 5. त्रिज्यखंड (Sector)

1. जीवा (Chord) ➖: वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की जीवा कहते हैं।
2. व्यास (Diameter) ⭐⭐⭐⭐⭐: "वह जीवा जो वृत्त के केंद्र (Center) से होकर गुजरती है, वृत्त का व्यास कहलाती है।"
   • व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा (Longest Chord) होती है।
   • व्यास हमेशा त्रिज्या का दोगुना होता है: या ।
3. चाप (Arc) 🌙: वृत्त के घेरे (परिधि) के किसी सतत भाग (टुकड़े) को चाप कहते हैं। छोटा टुकड़ा लघु चाप और बड़ा टुकड़ा दीर्घ चाप कहलाता है।
4. वृत्तखंड (Circular Segment) 🍕: जीवा और चाप के बीच के घिरे हुए वृत्ताकार क्षेत्र को वृत्तखंड कहते हैं (लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड)।
5. त्रिज्यखंड (Sector) 🍰⭐: दो त्रिज्याओं और एक चाप के बीच घिरे क्षेत्र को त्रिज्यखंड कहते हैं (जैसे पिज्जा या केक का एक टुकड़ा)।
6. परिधि (Circumference) 🔄: वृत्त के पूरे घेरे की कुल लंबाई (दूरी) को वृत्त की परिधि कहते हैं (सूत्र: )।

2. जीवा द्वारा एक बिंदु पर अंतरित कोण और जीवा के प्रमेय 📐⚖️⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

यह खंड सिद्ध करने वाले और संख्यात्मक (Numerical) प्रश्नों के लिए इस अध्याय की नींव है:

• प्रमेय 1 (बराबर जीवाओं का नियम): "वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित (बनाती) करती हैं।"
  • गणितीय रूप: यदि किसी वृत्त में दो जीवाएँ हैं, तो उनके द्वारा केंद्र पर बने कोण हमेशा बराबर होंगे: (इसका विलोम भी सत्य है)।

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A ───────── B\ /\ O / <— केंद्र पर बना कोण बराबर होगा\ /\ /• (केंद्र O)/ / / O / C ───────── D

🪚 केंद्र से जीवा पर लम्ब का सबसे महत्वपूर्ण नियम ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

• प्रमेय 2: "एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर डाला गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित (दो बराबर भागों में बाँटना) करता है।"
  • गणितीय रूप: यदि केंद्र से जीवा पर एक लम्ब खींचा जाए (), तो , जीवा का ठीक मध्य-बिंदु होगा:

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• O (केंद्र)││ लम्ब (90°)│A ──────┴────── BM (मध्य-बिंदु: AM = BM)

• प्रमेय 3 (प्रमेय 2 का विलोम): एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लम्ब () होती है।

📏 केंद्र से जीवा की दूरी का नियम ⭐⭐⭐: ​

• प्रमेय 4: "एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएँ केंद्र से समान (बराबर) दूरी पर होती हैं।" (और इसका विलोम भी सत्य है— जो जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होंगी, उनकी लम्बाइयाँ भी आपस में बराबर होंगी)।

3. तीन बिंदुओं से जाने वाला वृत्त और चाप के नियम 📍•📍•📍 ​

• प्रमेय 5 (अद्वितीय वृत्त नियम) ⭐⭐⭐⭐⭐: "तीन दिए हुए असंरेख (जो एक सीधी रेखा में न हों) बिंदुओं से होकर जाने वाला केवल और केवल एक (अद्वितीय/Unique) वृत्त खींचा जा सकता है।" (दो बिंदुओं से अनगिनत वृत्त खींचे जा सकती हैं, पर तीन असंरेख बिंदुओं से केवल एक ही वृत्त संभव है)।

🌙 चाप द्वारा केंद्र और वृत्त पर बने कोणों का जादुई संबंध प्रमेय ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण और परीक्षाओं में सर्वाधिक पूछा जाने वाला प्रमेय है।

• प्रमेय 6 (केंद्र का कोण दोगुना नियम): "एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।"

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A (शेष भाग पर बना कोण)// / / O \ <— केंद्र पर बना कोण (2θ)/ /\ / / \ •───┴────┴───•B (चाप BC) C[ सूत्र: ∠BOC = 2 × ∠BAC ]

• गणितीय रूप: यदि एक चाप द्वारा केंद्र पर कोण बनता है और शेष परिधि के बिंदु पर कोण बनता है, तो:

📺 एक ही वृत्तखंड के कोण और अर्धवृत्त का कोण नियम ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

• प्रमेय 7: "एक ही वृत्तखंड के कोण आपस में हमेशा बराबर होते हैं।"
  • गणितीय रूप: एक ही जीवा द्वारा परिधि पर बने दो कोण और हमेशा आपस में बराबर होंगे: ।

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C D (दोनों कोण आपस में बराबर होंगे)/\ // \ / / \ / •──────┴─┴──────•A (जीवा AB) B

• अर्धवृत्त का कोण नियम (Direct Objective Hot-Topic) ⭐⭐⭐⭐⭐: "अर्धवृत्त (Semi-circle) में बना कोण हमेशा एक समकोण () होता है।"
  • समझ: यदि हम वृत्त के व्यास को आधार मानकर परिधि पर कहीं भी कोई कोण बनाएँ, तो व्यास द्वारा केंद्र पर का कोण बनता है, अतः प्रमेय 6 के नियम से परिधि का कोण होगा।

4. चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilaterals) ⬔⭕⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

यह दीर्घ-उत्तरीय और कठिन संख्यात्मक प्रश्नों को हल करने के लिए इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है:

• परिभाषा: "ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष (Vertices) एक ही वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं, चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है।"

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⭕A •─────• B/ / / D •─────────────• C[ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है ]

🎯 चक्रीय चतुर्भुज के दो मुख्य प्रमेय — कंठस्थ करें ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

• प्रमेय 8: "चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख (आमने-सामने के) कोणों के प्रत्येक युग्म का योग हमेशा (संपूरक) होता है।"
• प्रमेय 9 (प्रमेय 8 का विलोम): यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज होता है।

🚀 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण शार्टकट न्यूमेरिकल गाइड्स (Quick Revision Guide) 🧙‍♂️✨ ​

इस अध्याय के रेखाचित्र वाले कठिन सवालों को चुटकियों में हल करने की युक्तियाँ:

1. पाइथागोरस प्रमेय की जादुई ट्रिक () ⭐⭐⭐⭐⭐: जब भी केंद्र से जीवा की दूरी या जीवा की लंबाई ज्ञात करनी हो, तो हमेशा केंद्र , मध्य-बिंदु और त्रिज्या को मिलाकर एक समकोण त्रिभुज बनाएँ।(💡 उदाहरण: यदि त्रिज्या है और केंद्र से दूरी है, तो जीवा की आधी लंबाई होगी। अतः पूरी जीवा की लंबाई आ जाएगी)।
2. सम्मुख कोणों का शार्टकट: यदि चक्रीय चतुर्भुज में दिया हो और उसके सामने का कोण निकालना हो, तो बिना सोचे उसे में से घटा दें ।
3. केंद्र के कोण की गणना: यदि परिधि पर बना कोण है, तो उसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण सीधे दोगुना यानी होगा।
4. त्रिज्या और व्यास का ध्यान रखें ⚠️: न्यूमेरिकल हल करते समय हमेशा ध्यान से देखें कि प्रश्न में 'व्यास' दिया है या 'त्रिज्या'। यदि व्यास दिया है, तो गणना में त्रिज्या को हमेशा आधा करके ही लें, अक्सर विद्यार्थी यहीं गलती करते हैं।