अध्याय 8 चतुर्भुज ​

प्रश्‍नावली 8.1 ​

1. एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
2. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
3. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
5. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
6. समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 8.19)। दर्शाइए कि (a) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है। (b) ABCD एक समचतुर्भुज है।
7. ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (a) ABCD एक वर्ग है (b) विकर्ण BD दोनों कोणं B और D को समद्विभाजित करता है
9. समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति 8.20)। दर्शाइए कि (a) ∆ APD ≅ ∆ CQB (b) AP = CQ (c) ∆ AQB ≅ ∆ CPD (d) AQ = CP (e) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
10. ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमश: लम्ब हैं (देखिए आकृति 8.21)। दर्शाइए कि (a) ∆ APB ≅ ∆ CQD (b) AP = CQ
11. ∆ ABC और ∆ DEF में, AB = DE, AB ∥ DE, BC = EF और BC ∥ EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति 8.22)। दर्शाइए कि (a) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है। (b) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है। (c) AD ∥ CF और AD = CF है। (d) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। (e) AC = DF है। (f) ∆ ABC ≅ ∆ DEF है।
12. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC और AD = BC है (देखिए आकृति 8.23)। दर्शाइए कि (a) ∠A = ∠B (b) ∠C = ∠D (c) ∆ ABC ≅ ∆ BAD (d) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
    [संकेत : AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]

प्रश्‍नावली 8.2 ​

1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.29)। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि (a) SR ∥ AC और SR = AC है। (b) PQ = SR है। (c) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
3. ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
4. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.30)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.31)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
6. दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
7. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि (a) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है। (b) MD ⊥ AC है। (c) CM = MA = AB है।