Bihar Board Class 9 Mathematics युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Book Based Questions (BBQs), Value Based Questions (VBQs) and High Order Thinking Skills (HOTs)
Book Based Questions (BBQs)
दो भिन्न बिंदुओं से होकर कितनी अद्वितीय (Unique) रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- अनगिनत
- दो
- केवल एक
- शून्य
उत्तर: (C) केवल एक व्याख्या: यूक्लिड के अभिगृहीतों (Axioms) के अनुसार, दो दिए गए बिंदुओं से होकर केवल और केवल एक ही सीधी रेखा गुजर सकती है।
यूक्लिड ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'एलिमेंट्स' (Elements) को कितने अध्यायों (Books) में विभाजित किया था?
- 7
- 10
- 13
- 15
उत्तर: (C) 13 व्याख्या: यूक्लिड ने तत्कालीन पूरे गणितीय ज्ञान को इकट्ठा किया और 'एलिमेंट्स' नामक ग्रंथ लिखा, जिसे 13 अध्यायों में बांटा गया था। हर अध्याय को एक 'बुक' कहा जाता है।
उत्तर: (A) 0 (शून्य) व्याख्या: यूक्लिड के अनुसार, "एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।" इसकी न लंबाई होती है, न चौड़ाई और न ही मोटाई, इसलिए इसके आयाम शून्य होते हैं।
"एक शांत रेखा (Terminated Line) को अनिश्चित रूप से दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है।" यह यूक्लिड का क्या है?
- एक परिभाषा
- एक अभिगृहीत (Axiom)
- एक अभिधारणा (Postulate)
- एक उपप्रमेय
उत्तर: (C) एक अभिधारणा (Postulate) व्याख्या: यह यूक्लिड की दूसरी अभिधारणा है। आधुनिक ज्यामिति में 'शांत रेखा' को 'रेखाखंड' (Line Segment) कहा जाता है।
"वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।" यह कथन यूक्लिड के अनुसार किस वर्ग में आता है?
- अभिगृहीत (Axiom)
- अभिधारणा (Postulate)
- परिभाषा
- प्रमेय
उत्तर: (A) अभिगृहीत (Axiom) व्याख्या: यह यूक्लिड का पहला अभिगृहीत है। उदाहरण के लिए, यदि A = C और B = C, तो A = B होगा। यह पूरे गणित पर लागू होता है, केवल ज्यामिति पर नहीं।
यूक्लिड के अनुसार, एक ठोस (Solid) की सीमाएँ (Boundaries) क्या होती हैं?
- पृष्ठ (Surfaces)
- रेखाएँ (Lines)
- बिंदु (Points)
- इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A) पृष्ठ (Surfaces) व्याख्या: किसी भी ठोस वस्तु की बाहरी सीमाएँ पृष्ठ या सतह कहलाती हैं। इन पृष्ठों की सीमाएँ रेखाएँ होती हैं, और रेखाओं के अंत बिंदु होते हैं।
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (Fifth Postulate) का संबंध मुख्य रूप से किससे है?
- वृत्तों की रचना से
- समकोणों की समानता से
- समांतर रेखाओं (Parallel Lines) के अस्तित्व से
- त्रिकोणों की समरूपता से
उत्तर: (C) समांतर रेखाओं (Parallel Lines) के अस्तित्व से व्याख्या: पाँचवीं अभिधारणा बताती है कि यदि दो रेखाओं को एक तीसरी रेखा काटे और एक ही तरफ के अंतःकोणों का योग 180° से कम हो, तो वे रेखाएँ आगे बढ़ाने पर आपस में मिलेंगी। इसी से समांतर रेखाओं का सिद्धांत (Playfair's Axiom) निकला है।
"यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।" यह यूक्लिड का कौन सा अभिगृहीत है?
- पहला
- दूसरा
- तीसरा
- चौथा
उत्तर: (B) दूसरा व्याख्या: यह यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है। उदाहरण के लिए, यदि x = y है, तो x + 2 = y + 2 होगा।
उत्तर: (B) 2 व्याख्या: एक पृष्ठ (जैसे कागज़ का पन्ना या मेज की ऊपरी सतह) में केवल लंबाई और चौड़ाई होती है, इसलिए इसके दो आयाम (2D) होते हैं।
यूक्लिड के अनुसार, एक रेखा (Line) के सिरे या अंत बिंदु क्या होते हैं?
- रेखाएँ
- बिंदु (Points)
- पृष्ठ
- वक्र
उत्तर: (B) बिंदु (Points) व्याख्या: यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार, रेखा के सिरे बिंदु होते हैं। रेखा स्वयं "चौड़ाई रहित लंबाई" होती है।
उत्तर: (C) यूनान (Greece) व्याख्या: यूक्लिड एक यूनानी गणितज्ञ थे, जिन्हें 'ज्यामिति का जनक' (Father of Geometry) भी कहा जाता है।
यूक्लिड अलेक्जेंड्रिया (मिस्र) में किस विषय के शिक्षक थे?
- गणित (Mathematics)
- खगोल विज्ञान (Astronomy)
- भौतिकी (Physics)
- दर्शनशास्त्र (Philosophy)
उत्तर: (A) गणित (Mathematics) व्याख्या: उन्होंने मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में गणित के शिक्षक के रूप में कार्य किया और वहाँ ज्यामिति के सिद्धांतों को व्यवस्थित किया।
थैल्स (Thales) के सबसे प्रसिद्ध शिष्य कौन थे?
- यूक्लिड
- पाइथागोरस (Pythagoras)
- आर्किमिडीज
- प्लेटो
उत्तर: (B) पाइथागोरस (Pythagoras) व्याख्या: यूनानी गणितज्ञ थैल्स के सबसे प्रसिद्ध शिष्य पाइथागोरस थे, जिन्होंने ज्यामिति में कई महत्वपूर्ण खोजें कीं।
थैल्स ने यह सिद्ध किया था कि एक वृत्त का व्यास, वृत्त को कितने बराबर भागों में विभाजित करता है?
- दो
- तीन
- चार
- व्यास विभाजित नहीं करता
उत्तर: (A) दो व्याख्या: थैल्स को सबसे पहला ज्ञात प्रमाण देने का श्रेय जाता है कि वृत्त का व्यास वृत्त को दो बराबर भागों (अर्धवृत्त) में समद्विभाजित करता है।
"पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।" यह यूक्लिड का कौन सा अभिगृहीत (Axiom) है?
- तीसरा
- चौथा
- पाँचवाँ
- छठा
उत्तर: (C) पाँचवाँ व्याख्या: यह यूक्लिड का 5वाँ अभिगृहीत है। उदाहरण के लिए, पूरे भारत का क्षेत्रफल, उत्तर प्रदेश के क्षेत्रफल से हमेशा बड़ा होगा क्योंकि उत्तर प्रदेश इसका एक भाग है।
ज्यामिति में 'अभिगृहीत' (Axioms) क्या माने जाते हैं?
- केवल ज्यामिति में लागू होने वाले सार्वभौमिक सत्य
- पूरे गणित में लागू होने वाले सार्वभौमिक सत्य, जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं होती
- वे कथन जिन्हें सिद्ध करना पड़ता है
- केवल परिभाषाएँ
उत्तर: (B) पूरे गणित में लागू होने वाले सार्वभौमिक सत्य, जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं होती व्याख्या: अभिगृहीत वे कल्पनाएँ हैं जो निरंतर गणित में प्रयोग की जाती हैं और इनका संबंध केवल ज्यामिति से नहीं होता।
'अभिधारणाएँ' (Postulates) विशेष रूप से किससे संबंधित होती हैं?
- केवल ज्यामिति (Geometry) से
- बीजगणित (Algebra) से
- सांख्यिकी (Statistics) से
- अंकगणित (Arithmetic) से
उत्तर: (A) केवल ज्यामिति (Geometry) से व्याख्या: यूक्लिड ने 'अभिधारणा' शब्द का प्रयोग उन कल्पनाओं के लिए किया था जो विशिष्ट रूप से ज्यामिति से संबंधित थीं।
उत्तर: (B) लंबाई व्याख्या: यूक्लिड की परिभाषा 2 के अनुसार, रेखा एक चौड़ाई रहित लंबाई (breadthless length) होती है।
किसी एक बिंदु से होकर कुल कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- केवल एक
- केवल दो
- दस
- अनंत (Infinitely many)
उत्तर: (D) अनंत (Infinitely many) व्याख्या: एक अकेले बिंदु से होकर अनगिनत सीधी रेखाएँ अलग-अलग दिशाओं में खींची जा सकती हैं।
"किसी को केंद्र मानकर और किसी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।" यह यूक्लिड की कौन सी अभिधारणा है?
- पहली
- दूसरी
- तीसरी
- चौथी
उत्तर: (C) तीसरी व्याख्या: यह यूक्लिड की तीसरी अभिधारणा है, जो बताती है कि ज्यामिति में किसी भी बिंदु को केंद्र और किसी भी दूरी को त्रिज्या मानकर वृत्त बनाया जा सकता है।
"सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।" यह यूक्लिड की कौन सी अभिधारणा है?
- दूसरी
- तीसरी
- चौथी
- पाँचवीं
उत्तर: (C) चौथी व्याख्या: यह यूक्लिड की चौथी अभिधारणा है। चाहे समकोण छोटा हो या बड़ा, उसका माप हमेशा 90° ही रहता है, इसलिए सभी समकोण बराबर होते हैं।
वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दुगुनी हों, आपस में क्या होती हैं?
- आधी होती हैं
- बराबर होती हैं
- असमान होती हैं
- दुगुनी से बड़ी होती हैं
उत्तर: (B) बराबर होती हैं व्याख्या: यह यूक्लिड का छठा अभिगृहीत है। यदि A = 2C और B = 2C, तो A = B होगा।
वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की आधी हों, आपस में क्या होती हैं?
- बराबर होती हैं
- असमान होती हैं
- तिगुनी होती हैं
- शून्य होती हैं
उत्तर: (A) बराबर होती हैं व्याख्या: यह यूक्लिड का सातवाँ अभिगृहीत है। यदि A =
उत्तर: (C) बराबर व्याख्या: यह यूक्लिड का चौथा अभिगृहीत है। यदि एक आकृति को दूसरी आकृति के ऊपर रखने पर वह उसे पूरी तरह ढक लेती है (संपाती होती है), तो वे आपस में बराबर होती हैं।
ठोस (Solid) से बिंदु (Point) की ओर बढ़ते हुए, आयामों (Dimensions) की संख्या किस क्रम में घटती है?
- 0 → 1 → 2 → 3
- 3 → 2 → 1 → 0
- 2 → 1 → 0 → 3
- कोई बदलाव नहीं होता
उत्तर: (B) 3 → 2 → 1 → 0 व्याख्या: ठोस के 3 आयाम होते हैं, इसके पृष्ठ के 2 आयाम होते हैं, पृष्ठ की सीमा यानी रेखा के 1 आयाम होते हैं, और रेखा के अंत यानी बिंदु के 0 आयाम होते हैं।
सिंधु घाटी सभ्यता (जैसे हड़प्पा और मोहनजोदड़ो) में निर्माण कार्य में प्रयुक्त ईंटों की लंबाई, चौड़ाई और मोटाई का अनुपात क्या था?
- 4 : 2 : 1
- 4 : 3 : 2
- 3 : 2 : 1
- 5 : 3 : 1
उत्तर: (A) 4 : 2 : 1 व्याख्या: हड़प्पा संस्कृति में नगर निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली ईंटों का अनुपात हमेशा लंबाई : चौड़ाई : मोटाई = 4 : 2 : 1 होता था।
प्राचीन भारत में घरेलू धार्मिक क्रियाकलापों के लिए बनाए जाने वाले वेदियों के आकार कैसे होते थे?
- केवल वृत्ताकार
- केवल वर्गाकार
- वर्गाकार और वृत्ताकार दोनों
- केवल शंक्वाकार
उत्तर: (C) वर्गाकार और वृत्ताकार दोनों व्याख्या: 'शुलबा सूत्र' के अनुसार, घरेलू अनुष्ठानों के लिए वर्गाकार और वृत्ताकार वेदियों का उपयोग किया जाता था, जबकि सार्वजनिक पूजा स्थलों के लिए जटिल आकारों (जैसे श्येनचित्त) की आवश्यकता होती थी।
'शुलबा सूत्र' (Sulba Sutras) का संबंध किस मुख्य विषय से है?
- खगोल विज्ञान
- ज्यामितीय रचनाएँ और वेधियाँ (Geometry)
- आयुर्वेद
- व्याकरण
उत्तर: (B) ज्यामितीय रचनाएँ और वेधियाँ (Geometry) व्याख्या: वैदिक काल में 'शुलबा सूत्र' नामक ग्रंथों में वेदियों के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण ज्यामितीय सिद्धांतों और मापों का विवरण दिया गया है।
'श्री यंत्र' (Sri Yantra) में एक-दूसरे के साथ जुड़े हुए कितने समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangles) अंतर्निहित हैं?
- 7
- 8
- 9
- 11
उत्तर: (C) 9 व्याख्या: अथर्ववेद में वर्णित 'श्री यंत्र' में 9 अंतर्ग्रथित (interlocking) समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं, जिनसे कुल 43 छोटे उप-त्रिभुज बनते हैं।
निम्नलिखित में से किसे सिद्ध (Prove) करने की आवश्यकता होती है?
- अभिगृहीत (Axiom)
- अभिधारणा (Postulate)
- प्रमेय (Theorem)
- परिभाषा
उत्तर: (C) प्रमेय (Theorem) व्याख्या: प्रमेय वह गणितीय कथन होता है जिसे अभिगृहीतों, परिभाषाओं और तार्किक तर्कों की सहायता से सिद्ध किया जाता है।
"एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।" यह यूक्लिड की कौन सी अभिधारणा है?
- पहली
- दूसरी
- चौथी
- पाँचवीं
उत्तर: (A) पहली व्याख्या: यह यूक्लिड की पहली अभिधारणा है, जो यह सुनिश्चित करती है कि दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कम से कम एक सीधी रेखा अवश्य होती है।
जॉन प्लेफेयर (John Playfair) का अभिगृहीत यूक्लिड की किस अभिधारणा का समतुल्य रूपांतरण है?
- दूसरी अभिधारणा
- तीसरी अभिधारणा
- पाँचवीं अभिधारणा
- चौथी अभिधारणा
उत्तर: (D) पाँचवीं अभिधारणा व्याख्या: प्लेफेयर का अभिगृहीत समांतर रेखाओं से संबंधित है, जो यूक्लिड की जटिल पाँचवीं अभिधारणा को सरल रूप में समझाता है।
प्लेफेयर के अभिगृहीत के अनुसार, एक रेखा l और उसके बाहर स्थित बिंदु P से होकर l के समांतर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- केवल एक अद्वितीय रेखा
- दो रेखाएँ
- अनंत रेखाएँ
- एक भी नहीं
उत्तर: (A) केवल एक अद्वितीय रेखा व्याख्या: किसी दी गई रेखा के बाहर स्थित बिंदु से होकर उस रेखा के समांतर केवल और केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
यदि दो रेखाखंड AB और CD एक ही रेखा xy के संपाती (Coincide) हैं, तो AB और CD में क्या संबंध होगा?
- AB > CD
- AB < CD
- AB = CD
- AB + CD = 0
उत्तर: (C) AB = CD व्याख्या: यूक्लिड के चौथे अभिगृहीत (जो वस्तुएं परस्पर संपाती हों वे बराबर होती हैं) के अनुसार, दोनों रेखाखंडों की लंबाई बराबर होगी।
उत्तर: (B) A < B व्याख्या: चूँकि पूर्ण अपने भाग से हमेशा बड़ा होता है (B > A), इसलिए भाग हमेशा पूर्ण से छोटा होगा (A < B)।
यदि दो समीकरण x + y = 10 और z + w = 10 हैं, तो यूक्लिड के किस नियम से x + y = z + w होगा?
- पहले अभिगृहीत से (वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों)
- तीसरे अभिगृहीत से
- पाँचवें अभिगृहीत से
- पहली अभिधारणा से
उत्तर: (A) पहले अभिगृहीत से (वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों) व्याख्या: चूँकि दोनों व्यंजक अलग-अलग संख्या 10 के बराबर हैं, इसलिए वे आपस में भी बराबर होंगे।
अ-यूक्लिडीय ज्यामिति (Non-Euclidean Geometry) का विकास मुख्य रूप से किस अभिधारणा को स्वतंत्र सिद्ध करने के प्रयासों का परिणाम है?
- प्रथम अभिधारणा
- तृतीय अभिधारणा
- पाँचवीं अभिधारणा
- चतुर्थ अभिधारणा
उत्तर: (C) पाँचवीं अभिधारणा व्याख्या: गणितज्ञों ने सदियों तक पाँचवीं अभिधारणा को बाकी 4 अभिधारणाओं से सिद्ध करने की कोशिश की। असफल होने पर उन्होंने नई ज्यामितियों की खोज की, जिन्हें 'अ-यूक्लिडीय ज्यामिति' कहते हैं।
गोलीय ज्यामिति (Spherical Geometry) में किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग कितना होता है?
- 180° के बराबर
- 180° से अधिक
- 180° से कम
- 90° के बराबर
उत्तर: (B) 180° से अधिक व्याख्या: गोलीय ज्यामिति (जो एक गोले या वक्र सतह पर होती है, जैसे हमारी पृथ्वी) में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° से अधिक होता है। यूक्लिड की ज्यामिति केवल समतल (Flat Plane) सतह पर लागू होती है।
गोलीय ज्यामिति (Spherical Geometry) में 'सीधी रेखा' क्या होती है?
- एक सीधी रेखाखंड
- एक दीर्घ वृत्त का भाग (Great Circle)
- एक परवलय (Parabola)
- इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B) एक दीर्घ वृत्त का भाग (Great Circle) व्याख्या: एक गोले की सतह पर दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक 'ग्रेट सर्कल' (जैसे भूमध्य रेखा) का हिस्सा होती है, जो वहाँ सीधी रेखा का काम करती है।
यदि A, B और C एक रेखा पर स्थित तीन बिंदु हैं और B बिंदुओं A और C के बीच में स्थित है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
- AB + BC = AC
- AC + BC = AB
- AB + AC = BC
- AB × BC = AC
उत्तर: (A) AB + BC = AC व्याख्या: यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार, जब कोई बिंदु किसी रेखाखंड के बीच में होता है, तो उसके दोनों भागों का योग पूर्ण रेखाखंड के संपाती (बराबर) होता है।
यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार, एक ठोस (Solid) में क्या-क्या होता है?
- केवल लंबाई और चौड़ाई
- केवल लंबाई
- लंबाई, चौड़ाई और मोटाई (या गहराई)
- कोई आकार नहीं होता
उत्तर: (C) लंबाई, चौड़ाई और मोटाई (या गहराई) व्याख्या: एक त्रिविमीय (3D) आकृति को ठोस कहा जाता है, जिसमें तीनों विमाएँ (लंबाई, चौड़ाई और मोटाई) मौजूद होती हैं।
यदि किसी आकृति का क्षेत्रफल X है और उसमें से Y क्षेत्रफल का हिस्सा काट कर हटा दिया जाए, तो बचा हुआ क्षेत्रफल क्या होगा?
- X + Y
- X − Y
- Y − X
- X × Y
उत्तर: (B) X − Y व्याख्या: यह यूक्लिड के तीसरे अभिगृहीत (यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं) का व्यावहारिक रूप है।
यूक्लिड के ग्रंथ 'एलिमेंट्स' के पहले अध्याय (Book 1) में कुल कितनी परिभाषाएँ (Definitions) दी गई हैं?
- 10
- 15
- 23
- 46
उत्तर: (C) 23 व्याख्या: यूक्लिड ने 'एलिमेंट्स' के भाग 1 में ज्यामिति की शुरुआत करने के लिए 23 मूलभूत परिभाषाएँ सूचीबद्ध की थीं।
"एक शांत रेखा को दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर प्राप्त आकृति को आधुनिक गणित में क्या कहते हैं?"
- किरण (Ray)
- रेखाखंड (Line segment)
- रेखा (Line)
- कोण
उत्तर: (C) रेखा (Line) व्याख्या: जब एक रेखाखंड (शांत रेखा) को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाया जाता है, तो उसे एक 'रेखा' कहा जाता है, जिसका कोई अंत बिंदु नहीं होता।
समांतर रेखाओं (Parallel Lines) के बीच की लंबवत दूरी हमेशा कैसी रहती है?
- बदलती रहती है
- हमेशा अचर (समान) रहती है
- लगातार घटती है
- लगातार बढ़ती है
उत्तर: (B) हमेशा अचर (समान) रहती है व्याख्या: समांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो आपस में कभी नहीं मिलतीं, क्योंकि उनके बीच की लंबवत दूरी हर बिंदु पर हमेशा समान रहती है।
यदि 2x = 12 और 2y = 12 है, तो x = y होगा। यहाँ यूक्लिड का कौन सा नियम लागू होता है?
- यदि बराबरों को बराबरों से घटाया जाए
- पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है
- वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की आधी हों, परस्पर बराबर होती हैं
- पहली अभिधारणा
उत्तर: (C) वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की आधी हों, परस्पर बराबर होती हैं व्याख्या: दोनों तरफ 2 से भाग देने पर (यानी आधा करने पर) x = 6 और y = 6 प्राप्त होता है, अतः x = y (अभिगृहीत 7)।
दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines) आपस में कितनी रेखाओं के समांतर हो सकती हैं?
- दोनों एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं
- केवल एक रेखा के समांतर
- दो अलग-अलग रेखाओं के समांतर
- अनंत रेखाओं के समांतर
उत्तर: (A) दोनों एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं व्याख्या: यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के अनुसार, यदि दो रेखाएँ आपस में एक-दूसरे को काटती हैं, तो वे दोनों किसी तीसरी रेखा के समांतर कभी नहीं हो सकतीं।
यूक्लिड की ज्यामिति मुख्य रूप से किस प्रकार की सतहों के लिए वैध (Valid) मानी जाती है?
- समतल सतह (Flat Surfaces)
- वक्रीय सतह (Curved Surfaces)
- गोलीय सतह (Spherical Surfaces)
- त्रिविमीय अंतरिक्ष (Space)
उत्तर: (A) समतल सतह (Flat Surfaces) व्याख्या: यूक्लिड की ज्यामिति केवल समतल सतहों (जैसे कागज, बोर्ड) पर खिंची जाने वाली आकृतियों के लिए ही सही बैठती है। इसे समतल ज्यामिति (Plane Geometry) भी कहते हैं।
निम्नलिखित में से कौन सी आकृति द्विविमीय (2-Dimensional) है?
- एक बिंदु
- एक बेलन (Cylinder)
- एक त्रिभुज (Triangle)
- एक घन (Cube)
उत्तर: (C) एक त्रिभुज (Triangle) व्याख्या: त्रिभुज एक समतल आकृति है जिसमें केवल लंबाई और चौड़ाई (दो आयाम) होते हैं। बिंदु 0-D है, जबकि बेलन और घन 3-D (ठोस) हैं।
यदि A = B है, तो A + C = B + C होगा। यह दर्शाता है कि:
- बराबरों को बराबरों में से घटाने पर शेषफल बराबर होते हैं।
- बराबरों को बराबरों में जोड़ने पर पूर्ण भी बराबर होते हैं।
- वस्तुएँ संपाती हैं।
- यह एक परिभाषा है।
उत्तर: (B) बराबरों को बराबरों में जोड़ने पर पूर्ण भी बराबर होते हैं। व्याख्या: यह यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है, जो समानता के मूल नियम को स्पष्ट करता है।
यदि दो वृत्त परस्पर संपाती (coincide) हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ (Radii) कैसी होंगी?
- बराबर होंगी
- असमान होंगी
- एक की त्रिज्या दूसरे की आधी होगी
- शून्य होंगी
उत्तर: (A) बराबर होंगी व्याख्या: यदि दो वृत्त एक-दूसरे को पूरी तरह ढक लेते हैं (संपाती हैं), तो उनके केंद्र और परिधि एक ही जगह होंगे, जिससे उनकी त्रिज्याएँ आपस में पूर्णतः बराबर होंगी (अभिगृहीत 4)।
"एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।" यह कथन यूक्लिड के ग्रंथ में कहाँ स्थान पाता है?
- अभिधारणाओं की सूची में
- अभिगृहीतों की सूची में
- परिभाषाओं की सूची में
- प्रमेयों की सूची में
उत्तर: (C) परिभाषाओं की सूची में व्याख्या: यूक्लिड ने अपने ग्रंथ 'एलिमेंट्स' के बुक 1 की शुरुआत में ही सबसे पहली परिभाषा (Definition 1) बिंदु की दी थी।
रेखाएँ समांतर कहलाती हैं यदि वे आगे बढ़ाने पर कभी न मिलें। यह कथन क्या है?
- एक अभिगृहीत
- एक अभिधारणा
- एक परिभाषा
- एक प्रमेय
उत्तर: (C) एक परिभाषा व्याख्या: यह समांतर रेखाओं की स्पष्ट 'परिभाषा' (Definition) है, जो यह बताती है कि एक ही तल में स्थित वे रेखाएँ जो कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं, समांतर होती हैं।
यदि A > B और B > C है, तो यूक्लिड के तर्कों के अनुसार A और C में क्या संबंध होगा?
- A > C
- A < C
- A = C
- A + B = C
उत्तर: (A) A > C व्याख्या: यह एक साधारण तार्किक संबंध है जिसे यूक्लिड के परिमाणों की तुलना करने वाले नियमों के आधार पर स्पष्ट किया जा सकता है।
मिस्र (Egypt) के पिरामिडों का आधार (Base) कैसा होता था?
- केवल वृत्ताकार
- वर्गाकार, आयताकार या अन्य बहुभुज
- केवल त्रिभुजाकार
- शंक्वाकार
उत्तर: (B) वर्गाकार, आयताकार या अन्य बहुभुज व्याख्या: पिरामिड एक ऐसी ठोस आकृति होती है जिसका आधार कोई भी बहुभुज (जैसे वर्ग या आयत) हो सकता है और उसके पार्श्व फलक त्रिकोणीय होते हैं जो ऊपर एक बिंदु पर मिलते हैं।
ज्यामिति को एक व्यवस्थित रूप में लाकर उसका सुगठित ढाँचा तैयार करने का मुख्य श्रेय किस गणितज्ञ को जाता है?
- आर्यभट्ट
- पाइथागोरस
- यूक्लिड
- भास्कर
उत्तर: (C) यूक्लिड व्याख्या: यद्यपि ज्यामिति का उपयोग बहुत से प्राचीन देशों में होता था, लेकिन यूक्लिड ने इसे बिखरे हुए ज्ञान से निकाल कर एक व्यवस्थित तार्किक विषय (Logical System) के रूप में स्थापित किया।
यदि आपके पास दो समान लंबाई की लकड़ियाँ हैं और आप दोनों में से 5 सेमी का टुकड़ा काट कर हटा देते हैं, तो बची हुई लकड़ियों की लंबाई कैसी होगी?
- पहली लकड़ी बड़ी होगी
- दूसरी लकड़ी बड़ी होगी
- दोनों की लंबाई अब भी बराबर होगी
- कुछ कहा नहीं जा सकता
उत्तर: (C) दोनों की लंबाई अब भी बराबर होगी व्याख्या: यूक्लिड का तीसरा अभिगृहीत कहता है कि "यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।" (A − 5 = B − 5, यदि A = B)
उत्तर: (B) 2 व्याख्या: एक रेखाखंड के दो निश्चित सिरे या अंत बिंदु होते हैं, जिससे इसकी लंबाई निश्चित होती है (यूक्लिड ने इसे ही 'शांत रेखा' कहा था)।
उत्तर: (A) 1 व्याख्या: किरण का एक प्रारंभिक या अंत बिंदु निश्चित होता है और दूसरी दिशा में यह अनंत तक बढ़ती जाती है (जैसे सूर्य की किरणें)।
निम्नलिखित में से कौन सा यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक परिणाम है?
- दो रेखाएँ हमेशा प्रतिच्छेद करती हैं।
- एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ असमान होती हैं।
- यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटे, तो एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
- एक बिंदु का कोई आकार नहीं होता।
उत्तर: (C) यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटे, तो एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। व्याख्या: समांतर रेखाओं से जुड़े सभी महत्वपूर्ण गुण (जैसे एकांतर कोण, संगत कोणों की समानता) यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के गणितीय निष्कर्षों पर ही टिके हैं।
यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार, एक रेखा किस प्रकार की लंबाई होती है?
- चौड़ाई सहित लंबाई
- चौड़ाई रहित लंबाई
- मोटाई सहित लंबाई
- असीमित चौड़ाई वाली लंबाई
उत्तर: (B) चौड़ाई रहित लंबाई व्याख्या: यूक्लिड की दूसरी परिभाषा के अनुसार, रेखा (Line) में केवल लंबाई होती है, उसकी कोई चौड़ाई या मोटाई नहीं होती।
यदि दो आकृतियाँ एक-दूसरे को पूरी तरह से ढक लेती हैं, तो वे यूक्लिड के किस अभिगृहीत के अंतर्गत आती हैं?
- पहले अभिगृहीत
- तीसरे अभिगृहीत
- चौथे अभिगृहीत
- सातवें अभिगृहीत
उत्तर: (C) चौथे अभिगृहीत व्याख्या: यूक्लिड का चौथा अभिगृहीत कहता है कि "वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती (coincide) हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
प्राचीन भारत में प्रयुक्त ग्रन्थ 'सुल्बा सूत्र' का शाब्दिक अर्थ क्या है?
- रस्सियों या धागों के नियम (Rules of Cords)
- तारों की गणना
- मिट्टी के बर्तन बनाना
- यज्ञ की अग्नि
उत्तर: (A) रस्सियों या धागों के नियम (Rules of Cords) व्याख्या: 'शुलबा' या 'शुल्ब' का अर्थ रस्सी (Cord/Rope) होता है। प्राचीन काल में मापन के लिए रस्सियों का उपयोग किया जाता था।
यूक्लिड से पहले ज्यामिति का ज्ञान मुख्य रूप से किस रूप में था?
- तार्किक प्रमेयों के रूप में
- व्यावहारिक और प्रयोगात्मक रूप में
- केवल परिभाषाओं के रूप में
- कोई ज्ञान नहीं था
उत्तर: (B) व्यावहारिक और प्रयोगात्मक रूप में व्याख्या: प्राचीन सभ्यताओं (मिस्र, बेबीलोनिया, भारत) में ज्यामिति का उपयोग जमीन मापने और निर्माण के लिए व्यावहारिक रूप से होता था, लेकिन उसके तार्किक नियम नहीं थे।
यदि a = b और c = d है, तो यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत के अनुसार:
- a + c = b + d
- a - c = b + d
- a + b = c + d
- a × b = c × d
उत्तर: (A) a + c = b + d व्याख्या: यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत कहता है कि यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
एक शांत रेखा (रेखाखंड) के मध्य बिंदुओं (Mid-points) की संख्या कितनी होती है?
- केवल एक अद्वितीय बिंदु
- दो बिंदु
- तीन बिंदु
- अनंत बिंदु
उत्तर: (A) केवल एक अद्वितीय बिंदु व्याख्या: किसी भी रेखाखंड का केवल और केवल एक ही मध्य बिंदु होता है जो उसे दो बराबर भागों में बांटता है।
यदि दो सीधे कोण (Straight angles) दिए गए हों, तो वे आपस में:
- असमान होंगे
- हमेशा बराबर होंगे
- एक-दूसरे के पूरक होंगे
- शून्य होंगे
उत्तर: (B) हमेशा बराबर होंगे व्याख्या: सभी सीधे कोण 180° के होते हैं। यूक्लिड की चौथी अभिधारणा (सभी समकोण बराबर होते हैं) की तरह ही यह भी एक सार्वभौमिक सत्य है।
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के अनुसार, यदि अंतःकोणों का योग 180° से कम हो, तो रेखाएँ किस दिशा में मिलेंगी?
- उसी दिशा में जहाँ योग 180° से कम है
- विपरीत दिशा में जहाँ योग 180° से अधिक है
- दोनों दिशाओं में बढ़ाए जाने पर कभी नहीं मिलेंगी
- शुरुआत में ही मिल जाएँगी
उत्तर: (A) उसी दिशा में जहाँ योग 180° से कम है व्याख्या: पाँचवीं अभिधारणा स्पष्ट कहती है कि रेखाएँ उसी ओर बढ़ाए जाने पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करेंगी जिस ओर दो समकोणों (180°) से कम का योग बनता है।
प्राचीन मिस्र में नील नदी की बाढ़ के बाद खेतों की सीमाओं को दोबारा तय करने के लिए किस शास्त्र का जन्म हुआ?
- बीजगणित (Algebra)
- ज्यामिति (Geometry)
- त्रिकोणमिति (Trigonometry)
- सांख्यिकी (Statistics)
उत्तर: (B) ज्यामिति (Geometry) व्याख्या: 'ज्यामिति' (Geometry) शब्द ग्रीक शब्द 'Geo' (भूमि) और 'Metrein' (मापना) से बना है, जिसका अर्थ है भूमि मापना।
यदि A, B और C तीन संरेख बिंदु (Collinear points) हैं, तो इनमें से क्या संभव नहीं है?
- B, A और C के बीच हो
- A, B और C के बीच हो
- C, A और B के बीच हो
- तीनों बिंदु एक-दूसरे के समांतर हों
उत्तर: (D) तीनों बिंदु एक-दूसरे के समांतर हों व्याख्या: बिंदु कभी भी 'समांतर' नहीं होते, रेखाएँ समांतर होती हैं। संरेख बिंदु हमेशा एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।
यूक्लिड के सातवें अभिगृहीत के अनुसार, यदि दो राशियाँ किसी एक ही राशि की आधी हों, तो वे आपस में क्या होंगी?
- बराबर
- असमान
- दुगुनी
- ऋणात्मक
उत्तर: (A) बराबर व्याख्या: यदि x =
एक रेखा (Line) के ऊपर स्थित बिंदुओं की संख्या कितनी होती है?
- शून्य
- एक
- सौ
- अनंत (Infinitely many)
उत्तर: (D) अनंत (Infinitely many) व्याख्या: यूक्लिड के अनुसार रेखा स्वयं बिंदुओं से मिलकर बनी है, और किसी भी रेखा पर असीमित (अनंत) बिंदु स्थित होते हैं।
यदि कोण ∠ A = ∠ B और कोण ∠ B = ∠ C है, तो ∠ A = ∠ C होगा। यहाँ कौन सा नियम काम कर रहा है?
- यूक्लिड का पहला अभिगृहीत
- यूक्लिड की पहली अभिधारणा
- प्लेफेयर का नियम
- थैल्स का प्रमेय
उत्तर: (A) यूक्लिड का पहला अभिगृहीत व्याख्या: "वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
यूक्लिड की प्रसिद्ध रचना 'एलिमेंट्स' (Elements) किस भाषा में लिखी गई थी?
- लैटिन
- ग्रीक (यूनानी)
- संस्कृत
- अरबी
उत्तर: (B) ग्रीक (यूनानी) व्याख्या: यूक्लिड यूनान के रहने वाले थे, इसलिए उन्होंने अपना यह ऐतिहासिक ग्रंथ ग्रीक भाषा में ही लिखा था।
'अ-यूक्लिडीय ज्यामिति' (Non-Euclidean Geometry) में निम्नलिखित में से कौन सी बात सत्य हो जाती है?
- एक बिंदु का कोई आयाम नहीं होता।
- एक रेखा चौड़ाई रहित होती है।
- त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होना आवश्यक नहीं है।
- सभी समकोण बराबर होते हैं।
उत्तर: (C) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होना आवश्यक नहीं है। व्याख्या: वक्रीय या गोलीय सतहों पर त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक या कम हो सकता है, जो यूक्लिडीय ज्यामिति से अलग है।
यदि किसी वर्ग की सभी भुजाएँ आपस में संपाती (Coincide) हैं, तो उनके क्षेत्रफल:
- असमान होंगे
- बराबर होंगे
- शून्य होंगे
- एक-दूसरे के आधे होंगे
उत्तर: (B) बराबर होंगे व्याख्या: संपाती आकृतियाँ आकार और माप में बिल्कुल समान होती हैं, इसलिए उनके क्षेत्रफल भी सदैव बराबर होते हैं।
"एक रेखाखंड को बिना बदले किसी भी दिशा में घुमाकर वृत्त बनाया जा सकता है।" यह कथन किस अभिधारणा को बल देता है?
- पहली
- दूसरी
- तीसरी
- चौथी
उत्तर: (C) तीसरी व्याख्या: तीसरी अभिधारणा (केंद्र और त्रिज्या से वृत्त खींचना) यह स्पष्ट करती है कि किसी रेखाखंड को त्रिज्या मानकर वृत्त का निर्माण किया जा सकता है।
यूक्लिड की प्रथम परिभाषा के अनुसार, "बिंदु" की सबसे मुख्य विशेषता क्या है?
- इसकी केवल लंबाई होती है।
- इसका कोई भाग या टुकड़ा नहीं किया जा सकता।
- यह हमेशा वृत्त के केंद्र में होता है।
- इसका आकार चौकोर होता है।
उत्तर: (B) इसका कोई भाग या टुकड़ा नहीं किया जा सकता। व्याख्या: यूक्लिड की परिभाषा 1 है: "एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग (Part) नहीं होता।"
गणित में 'प्रमाण' (Proof) की परंपरा को व्यवस्थित रूप से शुरू करने का श्रेय किस देश के गणितज्ञों को जाता है?
- यूनान (Greece)
- मिस्र
- चीन
- बेबीलोन
उत्तर: (A) यूनान (Greece) व्याख्या: यूनानी गणितज्ञों (जैसे थैल्स और पाइथागोरस) ने केवल नियमों को उपयोग करने के बजाय उन्हें तार्किक रूप से सिद्ध (Prove) करने पर जोर दिया।
यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके प्रतिच्छेद बिंदुओं (Points of intersection) की संख्या कितनी होगी?
- केवल एक
- दो
- अनंत
- शून्य
उत्तर: (A) केवल एक व्याख्या: दो भिन्न सीधी रेखाएँ एक-दूसरे को केवल और केवल एक ही बिंदु पर काट सकती हैं।
"यदि A = B है, तो 3A = 3B होगा।" यह यूक्लिड के किस अभिगृहीत के सिद्धांत पर आधारित है?
- दूसरे अभिगृहीत (जोड़ने पर)
- तीसरे अभिगृहीत (घटाने पर)
- छठे अभिगृहीत (एक ही वस्तु के दुगुने/गुने बराबर होते हैं)
- पाँचवें अभिगृहीत पर
उत्तर: (C) छठे अभिगृहीत (एक ही वस्तु के दुगुने/गुने बराबर होते हैं) व्याख्या: यह नियम समान वस्तुओं को समान संख्या से गुणा करने पर उनके बराबर रहने के सिद्धांत को दर्शाता है।
यूक्लिड के अनुसार, "एक समतल पृष्ठ (Plane Surface) के सिरे क्या होते हैं?"
- बिंदु
- रेखाएँ
- कोण
- ठोस
उत्तर: (B) रेखाएँ व्याख्या: यूक्लिड की परिभाषा 6 के अनुसार, एक पृष्ठ के किनारे या सिरे हमेशा रेखाएँ (Lines) होती हैं।
आधुनिक ज्यामिति में 'अभिगृहीत' और 'अभिधारणा' को किस रूप में माना जाता है?
- सिद्ध किए गए कथन
- स्वतः सिद्ध या मान ली गई कल्पनाएँ (Assumptions)
- गलत कथन
- केवल कठिन सूत्र
उत्तर: (B) स्वतः सिद्ध या मान ली गई कल्पनाएँ (Assumptions) व्याख्या: इन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है ताकि इनके आधार पर आगे की ज्यामिति का निर्माण किया जा सके।
दो समांतर रेखाओं को आगे बढ़ाने पर वे आपस में कब मिलेंगी?
- 1000 किमी के बाद
- अंतरिक्ष में जाने के बाद
- कभी नहीं मिलेंगी
- तुरंत मिल जाएँगी
उत्तर: (C) कभी नहीं मिलेंगी व्याख्या: समांतर रेखाओं की परिभाषा ही यही है कि उन्हें दोनों दिशाओं में कितना भी बढ़ाया जाए, वे कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं।
यदि एक सीधी रेखा AB पर कोई बिंदु P स्थित है, तो किरण PA और किरण PB के बीच का कोण कितना होगा?
- 90°
- 180°
- 360°
- 0°
उत्तर: (B) 180° व्याख्या: ये दोनों किरणें विपरीत दिशाओं में हैं, जिससे एक सीधी रेखा बनती है और सीधी रेखा का कोण 180° होता है।
निम्नलिखित में से कौन सी ज्यामितीय आकृति बिना किसी आयाम (Dimension-less) की होती है?
- बिंदु (Point)
- रेखा (Line)
- किरण (Ray)
- तल (Plane)
उत्तर: (A) बिंदु (Point) व्याख्या: बिंदु का आयाम शून्य (0-D) होता है, अर्थात् यह आयाम-रहित है।
"यदि दो वृत्त समान क्षेत्रफल के हैं, तो वे एक-दूसरे के संपाती होंगे।" यह कथन:
- सत्य है
- असत्य है
- केवल त्रिभुज के लिए सत्य है
- यूक्लिड के नियमों के विरुद्ध है
उत्तर: (A) सत्य है व्याख्या: समान क्षेत्रफल वाले वृत्तों की त्रिज्याएँ समान होंगी, जिससे उन्हें एक-दूसरे के ऊपर रखने पर वे पूरी तरह ढक लेंगे।
यूक्लिड की ज्यामिति ब्रह्मांड के किस प्रकार के स्थान (Space) की व्याख्या के लिए सबसे उपयुक्त है?
- समतल या सपाट स्थान (Flat Space)
- वक्राकार स्थान (Curved Space)
- ब्लैक होल के अंदर का स्थान
- गैलेक्सी के बाहरी हिस्से का स्थान
उत्तर: (A) समतल या सपाट स्थान (Flat Space) व्याख्या: यूक्लिड के सभी नियम समतल सतहों (Euclidean Space) के लिए पूरी तरह सटीक बैठते हैं।
पाइथागोरस किस प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ के समूह या स्कूल से जुड़े थे?
- थैल्स के स्कूल से
- यूक्लिड के अलेक्जेंड्रिया स्कूल से
- आइंस्टीन के समूह से
- न्यूटन के संस्थान से
उत्तर: (A) थैल्स के स्कूल से व्याख्या: थैल्स को ज्यामिति का प्रारंभिक गुरु माना जाता है, और पाइथागोरस उनके विचारों से अत्यधिक प्रभावित थे।
यदि x + 5 = 12 है, तो दोनों पक्षों से 5 घटाने पर x = 7 आता है। यहाँ यूक्लिड का कौन सा अभिगृहीत लगा है?
- दूसरा अभिगृहीत
- तीसरा अभिगृहीत
- पाँचवाँ अभिगृहीत
- पहला अभिगृहीत
उत्तर: (B) तीसरा अभिगृहीत व्याख्या: "यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।"
ज्यामिति में 'उपप्रमेय' (Corollary) किसे कहा जाता है?
- एक नई परिभाषा को
- किसी सिद्ध प्रमेय से आसानी से निकलने वाले दूसरे निष्कर्ष को
- किसी गलत कथन को
- इतिहास की कहानी को
उत्तर: (B) किसी सिद्ध प्रमेय से आसानी से निकलने वाले दूसरे निष्कर्ष को व्याख्या: जब हम किसी मुख्य प्रमेय को सिद्ध करते हैं, तो उससे स्वतः ही जो छोटे-छोटे नियम सिद्ध हो जाते हैं, उन्हें उपप्रमेय कहते हैं।
"एक शांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।" इस कथन में 'शांत रेखा' का अर्थ आज के समय में क्या है?
- अनंत रेखा
- रेखाखंड (Line Segment)
- किरण
- वक्र रेखा
उत्तर: (B) रेखाखंड (Line Segment) व्याख्या: यूक्लिड के समय में जिसे 'शांत रेखा' कहा जाता था, उसे आज हम निश्चित लंबाई का 'रेखाखंड' कहते हैं।
यदि किसी ठोस (Solid) वस्तु का एक भाग तोड़ दिया जाए, तो बचे हुए भाग का आकार मूल ठोस से क्या होगा?
- बड़ा होगा
- छोटा होगा
- बराबर होगा
- दुगुना होगा
उत्तर: (B) छोटा होगा व्याख्या: यह यूक्लिड के 5वें अभिगृहीत ("पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है") का उल्टा रूप है, यानी भाग हमेशा पूर्ण से छोटा होता है।
यूक्लिड के अनुसार, "एक समतल पृष्ठ वह है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ कैसा स्थित होता है?"
- तिरछा
- समान रूप से (Evenly)
- लंबवत
- असमान रूप से
उत्तर: (B) समान रूप से (Evenly) व्याख्या: यूक्लिड की परिभाषा 7 के अनुसार, समतल पृष्ठ अपनी रेखाओं के साथ बिल्कुल सपाट या समान रूप से फैला होता है।
जॉन प्लेफेयर (John Playfair) किस देश के गणितज्ञ थे जिन्होंने समांतर रेखाओं का सरल नियम दिया?
- स्कॉटलैंड
- भारत
- मिस्र
- यूनान
उत्तर: (A) स्कॉटलैंड व्याख्या: प्लेफेयर स्कॉटिश गणितज्ञ थे, जिन्होंने यूक्लिड की 5वीं अभिधारणा को आसान शब्दों में दुनिया के सामने रखा।
यदि दो रेखाएँ किसी तीसरी रेखा के समांतर हैं, तो वे आपस में क्या होंगी?
- प्रतिच्छेदी होंगी
- समांतर होंगी
- लंबवत होंगी
- संपाती होंगी
उत्तर: (B) समांतर होंगी व्याख्या: यदि रेखा l ∥ n और m ∥ n, तो l ∥ m होगी। यह यूक्लिड के पहले अभिगृहीत का रेखाओं पर अनुप्रयोग है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन ज्यामिति में 'परिभाषा' (Definition) नहीं बल्कि एक 'अभिगृहीत' है?
- रेखा चौड़ाई रहित लंबाई है।
- समकोण 90° का होता है।
- यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
- बिंदु का कोई भाग नहीं होता।
उत्तर: (C) यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं। व्याख्या: यह एक सार्वभौमिक नियम (अभिगृहीत) है, किसी शब्द की परिभाषा नहीं।
ऐतिहासिक रूप से, ऋग्वेद काल में वेदियों के निर्माण की क्या विशेषता थी?
- उनका क्षेत्रफल निश्चित और आकार पवित्र नियमों पर आधारित होता था।
- वे बिना किसी माप के बनाई जाती थीं।
- वे केवल पत्थरों से बनती थीं।
- उनका ज्यामिति से कोई संबंध नहीं था।
उत्तर: (A) उनका क्षेत्रफल निश्चित और आकार पवित्र नियमों पर आधारित होता था। व्याख्या: प्राचीन भारत में वेदियों का निर्माण बहुत सटीक ज्यामितीय गणनाओं के साथ किया जाता था ताकि अनुष्ठान सफल हो सकें।
किसी समतल सतह पर एक बिंदु O को केंद्र मानकर अलग-अलग त्रिज्याओं के कितने वृत्त खींचे जा सकते हैं?
- केवल एक
- केवल दस
- अनंत (Infinitely many)
- एक भी नहीं
उत्तर: (C) अनंत (Infinitely many) व्याख्या: केंद्र एक ही रखकर हम त्रिज्या का मान बदलते हुए (जैसे 1 सेमी, 2 सेमी, 3 सेमी…) असीमित संख्या में संकेंद्रीय वृत्त (Concentrical Circles) खींच सकते हैं।
यूक्लिड के अनुसार, ज्यामिति की संरचना का सही तार्किक क्रम क्या है?
- परिभाषाएँ → अभिगृहीत/अभिधारणाएँ → प्रमेय
- प्रमेय → परिभाषाएँ → अभिधारणाएँ
- अभिगृहीत → प्रमेय → परिभाषाएँ
- सीधे प्रमेयों से शुरुआत होती है
उत्तर: (A) परिभाषाएँ → अभिगृहीत/अभिधारणाएँ → प्रमेय व्याख्या: यूक्लिड ने सबसे पहले शब्दों को परिभाषित किया (परिभाषाएँ), फिर मूल कल्पनाएँ तय कीं (अभिगृहीत) और फिर उनकी मदद से नए नियमों को सिद्ध किया (प्रमेय)।
Value Based Questions (VBQs)
सही विकल्प (c) है।
सही विकल्प (c) है।
सही विकल्प (a) है।
दो भिन्न रेखाओं में अधिक-से-अधिक कितने बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं?
- एक
- दो
- अनगिनत
- इनमें कोई नहीं
सही विकल्प (a) है।
यदि दो कोणों की मापों का योगफल 180° हो तो उन्हें कहते हैं
- पूरक कोण
- संपूरक कोण
- सरलरेखीय कोण
- इनमें कोई नहीं
सही विकल्प (b) है।
यदि दो कोणों की मापों का योगफल 90° हो, तो उन्हें क्या कहते हैं?
- पूरक कोण
- संपूरक कोण
- सरलरेखीय कोण
- इनमें कोई नहीं
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (b) है।
सही विकल्प (c) है।
दो समकोण से बड़ा, किंतु चार समकोण से छोटा हो उसे क्या कहते हैं?
- अधिक कोण
- पुनर्युक्त कोण
- कोटिपूरक कोण
- इनमें कोई नहीं
सही विकल्प (b) है।
सही विकल्प (d) है।
सही विकल्प (d) है।
सही विकल्प (b) है।
सही विकल्प (b) है।
सही विकल्प (c) है।
High Order Thinking Skills (HOTs)
यूक्लिड की दूसरी अभिगृहीत (कक्षा IX की पाठ्यपुस्तक में दिए क्रम के अनुसार) है। यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
- वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, परस्पर बराबर होती हैं।
- यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
- यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल बराबर होते है।
- वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों परस्पर बराबर होती हैं।
सही विकल्प (b) है।
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा है
- पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
- कि सी केंद्र और कि सी त्रि ज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता हैै।
- सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
- यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।
सही विकल्प (d) है।
वे वस्तुएँ, जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों, होती हैं
- बराबर
- बराबर नहीं
- उसी वस्तु को आधी
- उसी वस्तु की दोगुनी
सही विकल्प (a) है।
अभिगृहीत ऐसी कल्पनाएँ हैं, जो
- गणित की सभी शाखाओं में सर्वव्यापी सत्य हैं
- विशिष्ट रूप से ज्यामिति से संबद्ध सर्वव्यापी तथ्य हैं
- प्रमेय हैं
- परिभाषाएँ है
सही विकल्प (a) है।
जॉन की आयु मोहन की आयु के बराबर है। राम की आयु वही है जो मोहन की है। यूक्लिड की वह अभिगृहीत बताइए जो जॉन और राम की आयु में संबंध स्पष्ट करती है।
- पहली अभिगृहीत
- दूसरी अभिगृहीत
- तीसरी अभिगृहीत
- चौथी अभिगृहीत
सही विकल्प (a) है।
यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग 120° हो, तो दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढाने पर, उस ओर परस्पर मिलेंगी जहाँ कोणों का योग होगा।
- 120° से कम
- 120° से अधिक
- 120° के बराबर
- 180° से अधिक
सही विकल्प (a) है।
ठोसों से बिंदुओं तक तीन चरण हैं:
- ठोस-पृष्ठ-रेखाएँ-बिंदु
- ठोस-रेखाएँ-पृष्ठ-बिंदु
- रेखाएँ-बिंदु-पृष्ठ-ठोस
- रेखाएँ-पृष्ठ-बिंदु-ठोस
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (c) है।
सही विकल्प (b) है।
सही विकल्प (a) है।
यूक्लिड ने अपनी प्रसिद्ध कृति "एलीमेंट्स" को निम्नलिखित में विभाजित किया:
- 13 अध्याय
- 12 अध्याय
- 11 अध्याय
- 9 अध्याय
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (b) है।
सिन्धु घाटी सभ्यता (लगभग 300 B.C.) में निर्माण कार्य में प्रयुक्त ईंटों की विमाओं का अनुपात था
- 1:3:4
- 4:2:1
- 4:4:1
- 4:3:2
सही विकल्प (b) है।
सही विकल्प (d) है।
सही विकल्प (a) है।
यह ज्ञात है कि यदि x + y = 10 हो, तो x + y + z = 10 + z होगा। यूक्लिड इस कथन को स्पष्ट करती है, निम्नलिखित है:
- पहली अभिगृहीत
- दूसरी अभिगृहीत
- तीसरी अभिगृहीत
- चौथी अभि गृहीत
सही विकल्प (b) है।
प्राचीन भारत में, घरेलू पूजा कार्य में प्रयोग की जाने वाली वेदियों के आकार होते थे:
- वर्ग और वृत्त
- त्रिभुज और आयत
- समलंब और पिरामिड
- आयत और वर्ग
सही विकल्प (a) है।
( अथर्ववेद में दिए) 'श्रीयंत्र' में एक दूसरे के साथ जुड़े अंतर्निहित समद्विबाहु त्रिभुजों की संख्या हैः
- सात
- आठ
- नौ
- ग्यारह
सही विकल्प (c) है।
यूनानियों ने निम्नलिखित पर बल दियाः
- अगमन तर्कण
- निगमन तर्कण
- A और B दोनों
- ज्यामिति का व्यावहारिक प्रयोग
सही विकल्प (b) है।
प्राचीन भारत में, आयतों, त्रिभुजों और समलंबों से संयोजित आकारों की वेदियाँ निम्नलिखित में प्रयोग होती थीं:
- सार्वजनिक पूजा स्थल
- घरेलू पूजा कार्य
- A और B दोनों
- A, B और C में से कोई नहीं
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (c) है।
सही विकल्प (c) है।
सही विकल्प (a) है।
सही विकल्प (a) है।
यूक्लिड के कथन, सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, निम्नलिखित के रूप में दिया गया है
- एक अभिगृहीत
- एक परिभाषा
- एक अभिधारणा
- एक उपपत्ति
सही विकल्प (c) है।
'रेखाएँ समांतर होती हैं, यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करती' का कथन, निम्नलिखित के रूप में दिया गया है
- एक अभिगृहीत
- एक परिभाषा
- एक अभिधारणा
- एक उपपत्ति
सही विकल्प (b) है।
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