अध्याय - 1 संख्या पद्धति ​

प्रश्‍नावली 1.1 ​

1. क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है?
2. 3 और 4 के बीच में छः परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
3. और के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिये।
4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए। (a) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (b) रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है। (c) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

प्रश्‍नावली 1.2 ​

1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए। (a) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। (b) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। (c) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।
4. कक्षा के लिए क्रियाकलाप (वर्गमूल सर्पिल की रचना) : कागज की एक बड़ी शीट लीजिए और नीचे दी गई विधि से "वर्गमूल सर्पिल" (square root spiral) की रचना कीजिए। सबसे पहले एक बिन्दु O लीजिए और एकक लंबाई का रेखाखंड (line segment) OP खींचिए। एकक लंबाई वाले OP₁ पर लंब रेखाखंड P₁P₂ खींचिए (देखिए आकृति 1.9)। अब OP₂ पर लंब रेखाखंड P₂P₃ खींचिए। तब OP₃ पर लंब रेखाखंड P₃P₄ खींचिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए OP_n–1 पर एकक लंबाई वाला लंब रेखाखंड खींचकर आप रेखाखंड P_n–1P_n प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार आप बिन्दु O, P₁, P₂, P₃, …, P_n, … प्राप्त कर लेंगे और उन्हें मिलाकर , , , … को दर्शाने वाला एक सुंदर सर्पिल प्राप्त कर लेंगे।

प्रश्‍नावली 1.3 ​

1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है : (a) (b) (c) (d) (e) (f)
2. आप जानते हैं कि है। वास्तव में, लंबा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि , , , , के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे? [ संकेत : का मान ज्ञात करते समय शेषफलों का अध्ययन सावधानी से कीजिए। ]
3. निम्नलिखित को के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है : (a) (b) (c)
4. 0.99999… को के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित है? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
5. के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए।
6. (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?
7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
8. परिमेय संख्याओं और के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं : (a) (b) (c) (d) (e)

प्रश्‍नावली 1.4 ​

1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिए।
2. 4 दशमलव स्थानों तक संख्या रेखा पर को देखिए।

प्रश्‍नावली 1.5 ​

1. बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैंः (a) 2 (b) (c) (d) (e) 2π
2. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिएः (a) (b) (c) (d)
3. आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात् π = है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?
4. संख्या रेखा पर को निरूपित कीजिए।
5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए : (a) (b) (c) (d)

प्रश्‍नावली 1.6 ​

1. ज्ञात कीजिएः (a) (b) (c)
2. ज्ञात कीजिएः (a) (b) (c) (d)
3. सरल कीजिएः (a) (b) (c) (d)

अध्याय 2 बहुपद ​

प्रश्‍नावली 2.1 ​

1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए : (a) 4x² − 3x + 7 (b) y² + (c) (d) y + (e) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में का गुणांक लिखिएः (a) 2 + x² + x (b) 2 – x² + x³ (c) x² + x (d) x − 1
3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए : (a) 5x³ + 4x² + 7x (b) 4 − y² (c) 5t − (d) 3
5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैंः (a) x² + x (b) x – x³ (c) y + y² + 4 (d) 1 + x (e) 3t (f) r² (g) 7x³

प्रश्‍नावली 2.2 ​

1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिएः (a) x = 0 (b) x = – 1 (c) x = 2
2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिएः (a) p(y) = y² – y + 1 (b) p(t) = 2 + t + 2t² – t3 (c) p(x) = x³ (d) p(x) = (x – 1) (x + 1)
3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैंः (a) p(x) = 3x + 1; x = – (b) p(x) = 5x – pi; x = (c) p(x) = x² – 1; x = 1, – 1 (d) p(x) = (x + 1) (x – 2); x = – 1, 2 (e) p(x) = x²; x = 0 (f) p(x) = lx + m; x = (g) p(x) = 3x² – 1; x = (h) p(x) = 2x + 1; x =
4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए: (a) p(x) = x + 5 (b) p(x) = x – 5 (c) p(x) = 2x + 5 (d) p(x) = 3x – 2 (e) p(x) = 3x (f) p(x) = ax; a ≠ 0 (g) p(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

प्रश्‍नावली 2.3 ​

1. x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिएः (a) x + 1 (b) x – (c) x (d) x + π (e) 5 + 2x
2. x3 – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
3. जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखंड है या नहीं।

प्रश्‍नावली 2.4 ​

1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है। (a) x³ + x² + x + 1 (b) x⁴ + x³ + x² + x + 1 (c) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 (d) x³ – x² – (2 + )x +
2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहींः (a) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1 (b) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2 (c) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो: (a) p(x) = x² + x + k (b) p(x) = 2x² + kx + (c) p(x) = kx² – x + 1 (d) p(x) = kx² – 3x + k
4. गुणनखंड ज्ञात कीजिएः (a) 12x² – 7x + 1 (b) 2x² + 7x + 3 (c) 6x² + 5x – 6 (d) 3x² – x – 4
5. गुणनखंड ज्ञात कीजिएः (a) x³ – 2x² – x + 2 (b) x³ – 3x² – 9x – 5 (c) x³ + 13x² + 32x + 20 (d) 2y³ + y² – 2y – 1

प्रश्‍नावली 2.5 ​

1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिएः (a) (x + 4) (x + 10) (b) (x + 8) (x – 10) (c) (3x + 4) (3x – 5) (d) (y² + ) (y² – ) (e) (3 – 2x) (3 + 2x)
2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिएः (a) 103 × 107 (b) 95 × 96 (c) 104 × 96
3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिएः (a) 9x² + 6xy + y² (b) 4y² – 4y + 1 (c) x² –
4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिएः (a) (x + 2y + 4z)² (b) (2x – y + z)² (c) (– 2x + 3y + 2z)² (d) (3a – 7b – c)² (e) (– 2x + 5y – 3z)² (f)
5. गुणनखंडन कीजिएः (a) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz (b) 2x² + y² + 8z² – 2xy + 4yz – 8xz
6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिएः (a) (2x + 1)³ (b) (2a – 3b)³ (c) (2a – 3b)³ (d) (e)
7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः (a) (99)³ (b) (102)³ (c) (998)³
8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिएः (a) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² (b) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab² (c) 27 – 125a³ – 135a + 225a² (d) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab² (e) 27p³ – – p² + p
9. सत्यापित कीजिएः (a) x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) (b) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिएः (a) 27y³ + 125z³ (b) 64m³ – 343n³
11. गुणनखंडन कीजिएः 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
12. सत्यापित कीजिएः x³ + y³ + z³ – 3xyz =
13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।
14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिएः (a) (– 12)³ + (7)³ + (5)³ (b) (28)³ + (– 15)³ + (–13)³
15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिएः
    • क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
    • क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?
    • आयतन : 3x² – 12x
    • आयतन : 12ky² + 6ky – 20k

अध्याय 3 निर्देशांक ज्यामिति ​

प्रश्‍नावली 3.1 ​

1. एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज पर रखे टेबल लैंप की स्थिति किस तरह बताएँगे?
2. (सड़क योजना) : एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केन्द्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण की दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समांतर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। 1 सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए। आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉस-स्ट्रीट दो सड़कों से बनी है, जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्व-पश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता हैः यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवीं सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये एक क्रॉसिंग पर मिलती हैं, तब इसे हम क्रॉस-स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि (a) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है। (b) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है।

प्रश्‍नावली 3.2 ​

1. निम्नलिखित प्रश्‍नों में से प्रत्येक प्रश्‍न का उत्तर दीजिएः (a) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं? (b) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए। (c) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।

2. आकृति 3.14 देखकर निम्नलिखित को लिखिएः (a) B के निर्देशांक (b) C के निर्देशांक (c) निर्देशांक (–3, –5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु (d) निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु (e) D का भुज (f) बिन्दु H की कोटि (g) बिन्दु L के निर्देशांक (h) बिन्दु M के निर्देशांक

   

प्रश्‍नावली 3.3 ​

1. किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिन्दु (– 2, 4), (3, – 1), (– 1, 0), (1, 2) और (– 3, – 5) स्थित हैं? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए।

2. अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिएः

   x	Y
   – 2	8
   –1	7
   0	– 1.25
   1	3
   3	– 1

अध्याय 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण ​

प्रश्‍नावली 4.1 ​

1. एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए। (संकेत: मान लीजिए, नोटबुक की कीमत x रु है और कलम की कीमत y रु है)।
2. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइएः (a) 2x + 3y = 9.3 (b) x – – 10 = 0 (c) – 2x + 3y = 6 (d) x = 3y (e) 2x = – 5y (f) 3x + 2 = 0 (g) y – 2 = 0 (h) 5 = 2x

प्रश्‍नावली 4.2 ​

1. निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों? y = 3x + 5 का (a) एक अद्वितीय हल है (b) केवल दो हल हैं (c) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिएः (a) 2x + y = 7 (b) πx + y = 9 (c) x = 4y
3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं ः (a) (0, 2) (b) (2, 0) (c) (4, 0) (d) (, 4) (e) (1, 1)
4. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।

प्रश्‍नावली 4.3 ​

1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिएः (a) x + y = 4 (b) x – y = 2 (c) y = 3x (d) 3 = 2x + y

2. बिंदु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्याें?

3. यदि बिंदु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया 8 रु है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया y रु हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।

5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिएः

   

   • आकृति 4.6 के लिए (a) y = x (b) x + y = 0 (c) y = 2x (d) 2 + 3y = 7x

     

   • आकृति 4.7 के लिए (a) y = x + 2 (b) y = x – 2 (c) y = – x + 2 (d) x + 2y = 6

6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी (a) 2 मात्रक (b) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।

7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान ₹ x और ₹ y मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।

8. अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है: F = C + 32 (a) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट को y- अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए। (b) यदि तापमान 30℃ है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? (c) यदि तापमान 95℉ है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा? (d) यदि तापमान 0℃ है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0℉ है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा? (e) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।

प्रश्‍नावली 4.4 ​

1. (a) एक चर वाले (b) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
2. (a) एक चर वाले (b) दो चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।

सारांश ​

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया हैः

1. ax + by + c = 0 के रूप के समीकरण को जहाँ, a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a और b दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहा जाता है।
2. दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
3. दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा होता है।
4. x = 0, y-अक्ष का समीकरण है और y = 0, x-अक्ष का समीकरण है।
5. x = a का आलेख y-अक्ष के समांतर एक सरल रेखा होता है।
6. y = a का आलेख x-अक्ष के समांतर एक सरल रेखा होता है।
7. y = mx के प्रकार का समीकरण मूलबिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा को निरूपित करता है।
8. दो चरों वाले रैखिक समीकरण के आलेख पर स्थित प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का एक हल होता है। साथ ही, रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल रैखिक समीकरण के आलेख पर स्थित एक बिंदु होता है।

अध्याय 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय ​

प्रश्‍नावली 5.1 ​

1. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए। (a) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है। (b) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं। (c) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है। (d) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। (e) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY है, तो AB = XY होगा।
2. निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे? (a) समांतर रेखाएँ (b) लम्ब रेखाएँ (c) रेखाखंड (d) वृत्त की त्रिज्या (e) वर्ग
3. नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए : (a) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है। (b) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं। (c) क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
4. यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = AB है। एक आकृति खींच कर इसे स्पष्ट कीजिए।
5. प्रश्‍न 4 में, C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
7. यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्‍न पाँचवीं अभिधारणा से संबंधित नहीं है।)

प्रश्‍नावली 5.2 ​

1. आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके?
2. क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है? स्पष्ट कीजिए।

5.4 सारांश ​

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया हैः

1. यद्यपि यूक्लिड ने बिंदु, रेखा और तल को परिभाषित किया है, परन्तु गणितज्ञों ने इन परिभाषाओं को स्वीकार नहीं किया है। इसलिए ज्यामिति में इन्हें अब अपरिभाषित पदों के रूप में लिया जाता है।
2. अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ऐसी कल्पनाएँ हैं जो स्पष्टतः सर्वव्यापी सत्य होती हैं। इन्हें सिद्ध नहीं किया जाता है।
3. प्रमेय वे कथन हैं जिन्हें परिभाषाओं, अभिगृहीतों, पहले सिद्ध किए गए कथनों और निगमनिक तर्कण द्वारा सिद्ध किया जाता है।
4. यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत थे : (a) वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं। (b) यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं। (c) यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं। (d) वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक दूसरे के बराबर होती हैं। (e) पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है। (f) एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं। (g) एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

अध्याय 6 रेखाएँ और कोण ​

प्रश्‍नावली 6.1 ​

1. आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 6.15 में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिएः ∠ROS = (∠QOS − ∠POS)
6. यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्‍नावली 6.2 ​

1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB ∥ CD है।
2. आकृति 6.29 में, यदि AB ∥ CD, CD ∥ EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 6.30 में, यदि AB ∥ CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
4. आकृति 6.31 में, यदि PQ ∥ ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए। [संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए।]
5. आकृति 6.32 में, यदि AB ∥ CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।
6. आकृति 6.33 में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB ∥ CD है।

प्रश्‍नावली 6.3 ​

1. आकृति 6.39 में, ∆PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
2. आकृति 6.40 में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमशः ∆XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 6.41 में, यदि AB ∥ DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
4. आकृति 6.42 में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।
5. आकृति 6.43 में, यदि PQ ⊥ PS, PQ ∥ SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
6. आकृति 6.44 में, ∆PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = ∠QPR है।

अध्याय 7 त्रिभुज ​

प्रश्‍नावली 7.1 ​

1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 7.16)। दर्शाइए कि ∆ ABC ≅ ∆ ABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
2. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति 7.17)। सिद्ध कीजिए कि (a) ∆ ABD ≅ ∆ BAC (b) BD = AC (c) ∠ABD = ∠BAC
3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिए आकृति 7.18)। दर्शाइए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि ∆ ABC ≅ ∆ CDA है।
5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति 7.20)। दर्शाइए कि (a) ∆ APB ≅ ∆ AQB (b) BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है
6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।
7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति 7.22)। दर्शाइए कि (a) ∆ DAP ≅ ∆ EBP (b) AD = BE
8. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति 7.23)। दर्शाइए कि (a) ∆ AMC ≅ ∆ BMD (b) ∠DBC एक समकोण है (c) ∆DBC ≅ ∆ACB (d) CM = AB

प्रश्‍नावली 7.2 ​

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि (a) OB = OC (b) AO कोण A को समद्विभाजित करता है
2. ∆ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि ∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमश: शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं (देखिए आकृति 7.31)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति 7.32)। दर्शाइए कि (a) ∆ ABE ≅ ∆ ACF (b) AB = AC, अर्थात् ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
5. ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।
6. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।
7. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
8. दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।

प्रश्‍नावली 7.3 ​

1. ∆ ABC और ∆ DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि (a) ∆ ABD ≅ ∆ ACD (b) ∆ ABP ≅ ∆ ACP (c) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है। (d) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि (a) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है। (b) AD कोण A को समद्विभाजित करता हैै।
3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति 7.40)। दर्शाइए कि (a) ∆ ABM ≅ ∆ PQN (b) ∆ ABC ≅ ∆ PQR
4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।

प्रश्‍नावली 7.4 ​

1. दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।
2. आकृति 7.48 में, ∆ ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिंदुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, ∠PBC < ∠QCB है। दर्शाइए कि AC > AB है।
3. आकृति 7.49 में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है। दर्शाइए कि AD < BC है।
4. AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति 7.50)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।
5. आकृति 7.51 में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ है।
6. दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

प्रश्‍नावली 7.5 (ऐच्छिक)* ​

1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो ∆ ABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
2. किसी त्रिभुज के अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ है।
3. एक बड़े पार्क में, लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं (देखिए आकृति 7.52): A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं। B : जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है। C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है। एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके? (संकेत : स्टॉल को A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए।)
4. षडभुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों [देखिए आकृति (a) और (b)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भर कर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं? (a) (b)

अध्याय 8 चतुर्भुज ​

प्रश्‍नावली 8.1 ​

1. एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
2. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
3. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
5. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
6. समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 8.19)। दर्शाइए कि (a) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है। (b) ABCD एक समचतुर्भुज है।
7. ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (a) ABCD एक वर्ग है (b) विकर्ण BD दोनों कोणं B और D को समद्विभाजित करता है
9. समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति 8.20)। दर्शाइए कि (a) ∆ APD ≅ ∆ CQB (b) AP = CQ (c) ∆ AQB ≅ ∆ CPD (d) AQ = CP (e) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
10. ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमश: लम्ब हैं (देखिए आकृति 8.21)। दर्शाइए कि (a) ∆ APB ≅ ∆ CQD (b) AP = CQ
11. ∆ ABC और ∆ DEF में, AB = DE, AB ∥ DE, BC = EF और BC ∥ EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति 8.22)। दर्शाइए कि (a) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है। (b) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है। (c) AD ∥ CF और AD = CF है। (d) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। (e) AC = DF है। (f) ∆ ABC ≅ ∆ DEF है।
12. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC और AD = BC है (देखिए आकृति 8.23)। दर्शाइए कि (a) ∠A = ∠B (b) ∠C = ∠D (c) ∆ ABC ≅ ∆ BAD (d) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
    [संकेत : AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]

प्रश्‍नावली 8.2 ​

1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.29)। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि (a) SR ∥ AC और SR = AC है। (b) PQ = SR है। (c) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
3. ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
4. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.30)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.31)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
6. दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
7. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि (a) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है। (b) MD ⊥ AC है। (c) CM = MA = AB है।

अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल ​

प्रश्‍नावली 9.1 ​

1. निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए। (a) (b) (c) (d) (e) (f)

प्रश्‍नावली 9.2 ​

1. आकृति 9.15 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE DC और CF AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।
2. यदि E,F,G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, तो दर्शाइए कि ar(EFGH) = ar(ABCD) है।
3. P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ar(APB) = ar(BQC) है।
4. आकृति 9.16 में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि (a) ar(APB) + ar(PCD) = ar(ABCD) (b) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
   [संकेत : P से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए। ]
5. आकृति 9.17 में, PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि (a) ar(PQRS) = ar(ABRS) (b) ar(AXS) = ar(PQRS)
6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?

प्रश्‍नावली 9.3 ​

1. आकृति 9.23 में, ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACE) है।
2. ∆ ABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = ar(ABC) है।
3. दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलोें वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
4. आकृति 9.24 में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिन्दु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
5. D, E और F क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि (i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है (ii) ar(DEF) = ar(ABC) (iii) ar(BDEF) = ar(ABC)
6. आकृति 9.25 में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि (i) ar(DOC) = ar(AOB) (ii) ar(DCB) = ar(ACB) (iii) DA ∥ CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
   [संकेत : D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]
7. बिन्दु D और E क्रमश: ABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE ∥ BC है।
8. XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यदि BE ∥ AC और CF ∥ AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि: ar(ABE) = ar(ACF)
9. समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (देखिए आकृति 9.26)। दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है। [संकेत : AC और PQ को मिलाइए। अब ar(ACQ) और ar(APQ) की तुलना कीजिए।]
10. एक समलंब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है।
11. आकृति 9.27 में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि (a) ar(ACB) = ar(ACF) (b) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
12. गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
13. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar(ADX) = ar(ACY) है। [संकेत : CX को मिलाइए।]
14. आकृति 9.28 में, AP ∥ BQ ∥ CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
15. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar(AOD) = ar(BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
16. आकृति 9.29 में, ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।

प्रश्‍नावली 9.4 (ऐच्छिक)* ​

1. समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
2. आकृति 9.30 में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC) है। क्या आप अब उस प्रश्‍न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की 'भूमिका' में छोड़ दिया था कि "क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है"? [टिप्पणी: ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से ∆ABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिन्दुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिला कर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
3. आकृति 9.31 में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।
4. आकृति 9.32 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिन्दु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि ar
   (BPC) = ar (DPQ) है। [संकेत : AC को मिलाइए।]
5. आकृति 9.33 में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि (a) ar(BDE) = 1/4 ar(ABC) (b) ar(BDE) = ar(BAE) (c) ar(ABC) = 2 ar(BEC) (d) ar(BFE) = ar(AFD) (e) ar(BFE) = 2 ar(FED) (f) ar(FED) = ar(AFC)
   [संकेत : EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE ∥ AC और DE ∥ AB है, इत्यादि।]
6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
   [संकेत : A और C से BD पर लम्ब खींचिए।]
7. P और Q क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखंड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि: (a) ar (PRQ) = ar (ARC) (b) ar (RQC) = ar(ABC) (c) ar (PBQ) = ar (ARC)
8. आकृति 9.34 में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड AXDE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि: (a) ∆ MBC = ∆ ABD (b) ar(BYXD) = 2 ar(MBC) (c) ar(BYXD) = ar(ABMN) (d) ∆ FCB = ∆ ACE (e) ar(CYXE) = 2 ar(FCB) (f) ar(CYXE) = ar(ACFG) (g) ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG) [ टिप्पणी : परिणाम (vii) प्रसिद्ध (सुपरिचित) पाइथागोरस प्रमेय है। इस प्रमेय की एक सरलतम उपपत्ति आप कक्षा X में पढ़ेंगे।]

अध्याय 10 वृत्त ​

प्रश्‍नावली 10.1 ​

1. खाली स्थान भरिए : (a) वृत्त का केन्द्र वृत्त के में स्थित है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)। (b) एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के में स्थित होता है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)। (c) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का होता है। (d) एक चाप होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों। (e) वृत्तखंड एक चाप तथा के बीच का भाग होता है। (f) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे भागों में विभाजित करता है।
2. लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए। (a) केन्द्र को वृत्त पर किसी बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है। (b) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं। (c) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है। (d) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है। (e) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है। (f) वृत्त एक समतल आकृति है।

प्रश्‍नावली 10.2 ​

1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

प्रश्‍नावली 10.3 ​

1. वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं? उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या है?
2. मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केन्द्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
3. यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

प्रश्‍नावली 10.4 ​

1. 5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति 10.25)।
5. एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?
6. 20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

प्रश्‍नावली 10.5 ​

1. आकृति 10.36 में, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A,B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 10.37 में, ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
4. आकृति 10.38 में, ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए।
5. आकृति 10.39 में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिन्दु हैं। AC और BD एक बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
8. यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
9. दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति 10.40)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।
10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
11. उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
12. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।

प्रश्‍नावली 10.6 (ऐच्छिक)* ​

1. सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों की केन्द्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।
2. एक वृत्त की 5 cm तथा 11 cm लम्बी दो जीवाएँ AB और CD समांतर हैं और केन्द्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 cm हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
3. किसी वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 cm और 8 cm हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 cm की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है?
4. मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।
5. सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाता है।
6. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
7. AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए (i) AC और BD व्यास हैं, (ii) ABCD एक आयत है।
8. एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण 90° – A, 90° – B तथा 90° – C हैं।
9. दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
10. किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।

अध्याय 11 रचनाएँ ​

प्रश्‍नावली 11.1 ​

1. एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
2. एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिन्दु पर 450°के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
3. निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए : (a) 30° (b) 22 (c) 15°
4. निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए : (a) 75° (b) 105° (c) 135°
5. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।

प्रश्‍नावली 11.2 ​

1. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 75° और AB + AC = 13 cm हो।
2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 cm, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 cm हो।
3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 cm, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 cm हो।
4. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 cm हो।
5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm और कर्ण तथा अन्य भुजा का योग 18 cm है।

अध्याय 12 हीरोन का सूत्र ​

प्रश्‍नावली 12.1 ​

1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर 'आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा 'a' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
2. किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं (देखिए आकृति )। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m2 की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?
3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर "पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए" लिखा हुआ है (देखिए आकृति 12.10)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15m, 11m और 6m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42cm है।
5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्‍नावली 12.2 ​

1. एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90º, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?
2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।
3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति )। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?
7. एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।
8. फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (देखिए आकृति )। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm2 की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
9. एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ​

प्रश्‍नावली 13.1 ​

1. 1.5 m लंबा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिएः (a) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल। (b) इस शीट का मूल्य, यदि 1 m² शीट का मूल्य ₹ 20 है।
2. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 m, 4 m और 3 m हैं। ₹ 7.50 प्रति m² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
3. किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि ₹ 10 प्रति m² की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत ₹ 15000 है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [संकेत : चारों डिब्बों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]
4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
5. एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लंबाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm, 10 cm और 8 cm हैं। (a) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है? (b) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
6. एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लंबा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है। (a) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है? (b) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
7. शांति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बों की माप 15 cm × 12 cm × 5 cm थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत ₹ 4 प्रति 1000 cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?

प्रश्‍नावली 13.2 ​

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = लीजिए।

1. ऊँचाई 14 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
2. धातु की एक चादर से 1 m ऊँची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
3. धातु का एक पाइप 77 cm लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है (देखिए आकृति )। ज्ञात कीजिए : (a) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (b) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (c) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
4. एक रोलर (roller) का व्यास 84 cm है और लंबाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का m² में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5. किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 cm है और ऊँचाई 3.5 m है। ₹ 12.50 प्रति m2 की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
6. एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
7. किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 m है और यह 10 m गहरा है। ज्ञात कीजिएः (a) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल। (b) ₹ 40 प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
8. गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयत्र में 28 m लंबाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
9. ज्ञात कीजिए : (a) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊँचाई 4.5 m है। (b) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
10. आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm है और ऊँचाई 30 cm है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।
11. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?

प्रश्‍नावली 13.3 ​

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = लीजिए।

1. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
3. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए : (a) आधार की त्रिज्या (b) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
4. शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए : (a) तंबू की तिर्यक ऊँचाई (b) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 m² केनवास की लागत 70 रुपए है।
5. 8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
6. शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमशः 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर ₹ 210 प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
7. एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
8. किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर ₹ 12 प्रति m² है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? (π = 3.14 और = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)

प्रश्‍नावली 13.4 ​

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = लीजिए।

1. निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए : (a) 10.5 cm (b) 5.6 cm (c) 14 cm
2. निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए : (a) 14 cm (b) 21 cm (c) 3.5 m
3. 10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
4. एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5. पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। ₹ 16 प्रति 100 cm² की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
6. उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
7. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
8. एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
9. एक लंब वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति )। ज्ञात कीजिएः (a) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (b) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (c) ऊपर (a) और (b) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

प्रश्‍नावली 13.5 ​

1. माचिस की डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
2. एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लंबी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 m³ = 1000 l)
3. एक घनाभाकार बर्तन 10 m लंबा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके?
4. 8 m लंबा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गढ्ढा खुदवाने में 30 रुपए प्रति m³ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
5. एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5 m और 10 m हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
6. एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m × 15 m × 6 m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
7. किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 15 m हैं। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
8. 12 cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
9. 3 m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?

प्रश्‍नावली 13.6 ​

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = लीजिए।

1. एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 cm³ = 1 लीटर)
2. लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28cm है। इस पाइप की लंबाई 35cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
3. एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है: – (a) लंबाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और (b) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
4. यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए : (a) आधार की त्रिज्या (b) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
5. 10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय ₹ 2200 है। यदि पेंट कराने की दर ₹ 20 प्रति m² है, तो ज्ञात कीजिए : (a) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (b) आधार की त्रिज्या (c) बर्तन की धारिता
6. ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
7. सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
8. एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?

प्रश्‍नावली 13.7 ​

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = लीजिए।

1. उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी (a) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। (b) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
2. शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी (a) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है। (b) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।
3. एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
4. यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
5. ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
6. एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए: (a) शंकु की ऊँचाई (b) शंकु की तिर्यक ऊँचाई (c) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
7. भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
8. यदि प्रश्‍न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्‍नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
9. गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्‍नावली 13.8 ​

जब अन्यथा न कहा जाए, π = लीजिए।

1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है : (a) 7 cm (b) 0.63 m
2. उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है : (a) 28 cm (b) 0.21 m
3. धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm3 है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
4. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
5. व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
6. एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
8. किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिएः (a) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (b) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन
9. लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S′ है। ज्ञात कीजिएः (a) नए गोले की त्रिज्या r′ (b) S और S′ का अनुपात
10. दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी?

प्रश्‍नावली 13.9 (ऐच्छिक)* ​

1. एक लकड़ी के बुकशैल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैंः ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (देखिए आकृति )। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जाती है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm2 है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm² है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
2. किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठगोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² है तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² हो, त़ो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
3. एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?

अध्याय 14 सांख्यिकी ​

प्रश्‍नावली 14.1 ​

1. उन आंकड़ों के पाँच उदाहरण दीजिए जिन्हें आप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं।
2. ऊपर दिए गए प्रश्‍न 1 के आंकड़ों को प्राथमिक आंकड़ों या गौण आंकड़ों में वर्गीकृत कीजिए।

प्रश्‍नावली 14.2 ​

1. आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैंःA, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O इन आंकड़ों को एक बारंबारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौन-सा रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
2. 40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य-स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैंः5 3 10 20 25 11 13 7 12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16 2 7 9 7 8 3 5 12 15 18 3 12 14 2 9 6 15 15 7 6 12 0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अंतराल लेकर ऊपर दिए हुए आंकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणी बद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?
3. 30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (%में) यह रही हैः98.1 98.6 99.2 90.3 86.5 95.3 92.9 96.3 94.2 95.1 89.2 92.3 97.1 93.5 92.7 95.1 97.2 93.3 95.2 97.3 96.2 92.1 84.9 90.2 95.7 98.3 97.3 96.1 92.1 89 1. वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन बनाइए। 2. क्या आप बता सकते हैं कि ये आंकड़े किस महीने या ऋतु से संबंधित हैं? 3. इन आंकड़ों का परिसर क्या है?
4. निकटतम सेंटीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लंबाइयाँ ये हैंः161 150 154 165 168 161 154 162 150 151 162 164 171 165 158 154 156 172 160 170 153 159 161 170 162 165 166 168 165 164 154 152 153 156 158 162 160 161 173 166 161 159 162 167 168 159 158 153 154 159 1. 160-165, 165-170 आदि का वर्ग अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आंकड़ों को एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए। 2. इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लंबाइयों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
5. एक नगर में वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड का सांद्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आंकड़े ये हैंः0.03 0.08 0.08 0.09 0.04 0.17 0.16 0.05 0.02 0.06 0.18 0.20 0.11 0.08 0.12 0.13 0.22 0.07 0.08 0.01 0.10 0.06 0.09 0.18 0.11 0.07 0.05 0.07 0.01 0.04 1. 0.00-0.04, 0.04-0.08 आदि का वर्ग अंतराल लेकर इन आंकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। 2. सल्फर डाई-ऑक्साइड की सांद्रता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?
6. तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न है :0 1 2 2 1 2 3 1 3 0 1 3 1 1 2 2 0 1 2 1 3 0 0 1 1 2 3 2 2 0 ऊपर दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
7. 50 दशमलव स्थान तक शुद्ध π का मान नीचे दिया गया है :3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 1. दशमलव बिंदु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारंबारता बंटन बनाइए। 2. सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं?
8. तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घंटों तक टी.वी. के प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं :1 6 2 3 5 12 5 8 4 8 10 3 4 12 2 8 15 1 17 6 3 2 8 5 9 6 8 7 14 12 1. वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अंतराल को 5-10 लेकर इन आंकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। 2. कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविजन देखा?
9. एक कंपनी एक विशेष प्रकार की कार-बैट्री बनाती है। इस प्रकार की 40 बैट्रियों के जीवन-काल (वर्षों में) ये रहे हैं :2.6 3.0 3.7 3.2 2.2 4.1 3.5 4.5 3.5 2.3 3.2 3.4 3.8 3.2 4.6 3.7 2.5 4.4 3.4 3.3 2.9 3.0 4.3 2.8 3.5 3.2 3.9 3.2 3.2 3.1 3.7 3.4 4.6 3.8 3.2 2.6 3.5 4.2 2.9 3.6 0.5 माप के वर्ग अंतराल लेकर तथा अंतराल 2-2.5 से प्रारंभ करके इन आंकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।

प्रश्‍नावली 14.3 ​

1. एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आंकड़े ( % में) प्राप्त किएः

   क्र. सं.	कारण	महिला मृत्यु दर (%)
   1.	जनन स्वास्थ्य अवस्था	31.8
   2.	तंत्रिका मनोविकारी अवस्था	25.4
   3.	क्षति	12.4
   4.	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
   5.	श्वसन अवस्था	4.1
   6.	अन्य कारण	22.0

   1. ऊपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
   2. कौन-सी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है?
   3. अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।

2. भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आंकड़ेनीचे दिए गए हैंः

   क्षेत्र	प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या
   अनुसूचित जाति	940
   अनुसूचित जनजाति	970
   गैर अनुसूचित जाति/जनजाति	920
   पिछड़े जिले	950
   गैर पिछड़े जिले	920
   ग्रामीण	930
   शहरी	910

   1. ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दंड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
   2. कक्षा में चर्चा करके, बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

3. एक राज्य के विधान सभा के चुनाव में विभिन्न राजनैतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं :

   राजनैतिक पार्टी	जीती गई सीटें
   A	75
   B	55
   C	37
   D	29
   E	10
   F	37

   1. मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दंड आलेख खींचिए।
   2. किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं?

4. एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आंकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है :

   लंबाई (मिलीमीटर में)	पत्तियों की संख्या
   118 - 126	3
   127 - 135	5
   136 - 144	9
   145 - 153	12
   154 - 162	5
   163 - 171	4
   172 - 180	2

   1. दिए हुए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
   2. क्या इन्हीं आंकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है?
   3. क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों?

5. नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैम्पों के जीवन काल दिए गए हैं :

   जीवन काल (घंटों में)	लैम्पों की संख्या
   300 - 400	14
   400 - 500	56
   500 - 600	60
   600 - 700	86
   700 - 800	74
   800 - 900	62
   900 - 1000	48

   1. एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
   2. कितने लैम्पों के जीवन काल 700 घंटों से अधिक हैं?

6. नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है :

   • सेक्शन A

     अंक बारंबारता	अंक बारंबारता
     0 - 10	3
     10 - 20	9
     20 - 30	17
     30 - 40	12
     40 - 50	9

   • सेक्शन B

     अंक बारंबारता	अंक बारंबारता
     0 - 10	5
     10 - 20	19
     20 - 30	15
     30 - 40	10
     40 - 50	1

   दो बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए।

7. एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों मे बनाए गए रन नीचे दिए गए हैंः

   गेदों की संख्या	टीम A	टीम B
   1 - 6	2	5
   7 - 12	1	6
   13 - 18	8	2
   19 - 24	9	10
   25 - 30	4	5
   31 - 36	5	6
   37 - 42	6	3
   43 - 48	10	4
   49 - 54	6	8
   55 - 60	2	10

   बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए।

   (संकेत : पहले वर्ग अंतरालों को संतत बनाइए)

8. एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए :

   आयु (वर्षों में)	बच्चों की संख्या
   1 - 2	5
   2 - 3	3
   3 - 5	6
   5 - 7	12
   7 - 10	9
   10 - 15	10
   15 - 17	4

   ऊपर दिए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।

9. एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदृच्छया लिए गए और उनसें अंग्रेजी वर्णमाला केअक्षरों की संख्या का निम्न बारंबारता बंटन प्राप्त किया गया :

   वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	कुलनामों की संख्या
   1 - 4	6
   4 - 6	30
   6 - 8	44
   8 - 12	16
   12 - 20	4

   1. दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
   2. वह वर्ग अंतराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुलनाम हैं।

प्रश्‍नावली 14.4 ​

1. एक टीम ने फुटबाल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किए :

   2, 3, 4, 5, 0, 1, 3, 3, 4, 3 इन गोलों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

2. गणित की परीक्षा में 15 विद्यार्थियों ने (100 में से) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए :

   41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60 इन आंकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

3. निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आंकड़ों का माध्यक 63 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए :

   29, 32, 48, 50, x, x + 2, 72, 78, 84, 95

4. आंकड़ों 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

5. निम्न सारणी से एक फैक्टरी में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन ज्ञात कीजिएः

   वेतन (रुपयों में)	कर्मचारियों की संख्या
   3000	16
   4000	12
   5000	10
   6000	8
   7000	6
   8000	4
   9000	3
   10000	1
   कुल योग	60

6. निम्न स्थिति पर आधारित एक उदाहरण दीजिए

   1. माध्य ही केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है।
   2. माध्य केन्द्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप नहीं है, जबकि माध्यक एक उपयुक्त माप है।

अध्याय 15 प्रायिकता ​

प्रश्‍नावली 15.1 ​

1. एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

2. 2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिख लिए गए हैं :

   परिवार में लड़कियों की संख्या	परिवारों की संख्या
   2	475
   1	814
   0	211

   यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें

   1. दो लड़कियाँ हों
   2. एक लड़की हो
   3. कोई लड़की न हो साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।

3. अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

4. तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारंबारताएँ ये हैंः

   परिणाम	बारंबारता
   3 चित	23
   2 चित	72
   1 चित	77
   कोई भी चित नहीं	28

   यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5. एक कंपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैंः मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार

   1. की आय ₹10000-13000 के अंतराल में है और उसके पास केवल दो वाहन हैं।
   2. की आय प्रति माह ₹16000 या इससे अधिक है और उसके पास केवल 1 वाहन है।
   3. की आय ₹7000 प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
   4. की आय ₹13000-16000 के अंतराल में है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है।
   5. जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।

6. अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।

   1. गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
   2. एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

7. सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया हैः

   मत	विद्यार्थियों की संख्या
   पसंद करते हैं	पसंद नहीं करते हैं
   135	65

   प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्यार्थीे

   1. सांख्यिकी पसंद करता है
   2. सांख्यिकी पसंद नहीं करता है।

8. प्रश्‍नावली 14.2 का प्रश्‍न 2 देखिए। इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर

   1. अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है?
   2. अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है?
   3. अपने कार्यस्थल से km या इससे कम दूरी पर रहती है?

9. क्रियाकलाप : अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय-अंतराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

10. क्रियाकलाप : आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो।

11. आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैंः 4.97 5.05 5.08 5.03 5.00 5.06 5.08 4.98 5.04 5.07 5.00 यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी?

12. प्रश्‍नावली 14.2 के प्रश्‍न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाईऑक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंधित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल (0.12-0.16) में सल्फर डाईऑक्साइड के सांद्रण होने की की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

13. प्रश्‍नावली 14.2 के प्रश्‍न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त-समूह से संबंधित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।