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Class 11 Maths Chapter 6 क्रमचय-संचय: Objective Qs

Guddu Kumar

क्रमचय एवं संचय: महत्वपूर्ण प्रश्न (हल सहित) हिंदी में ​

Image of pyq sample question model paper important question
JEE Main, NDA, CBSE, BSEB, UP, PYQ, Sample Questions, Model Paper Question

A और B के बीच चार बस मार्ग हैं तथा B और C के बीच तीन बस मार्ग हैं। एक व्यक्ति B से होकर A से C तक जाने में बस द्वारा राउंड यात्रा (round trip), अर्थात् आने-जाने की यात्रा कर सकता है। यदि वह एक बस मार्ग का एक से अधिक बार प्रयोग नहीं करना चाहता है, तो वह आने-जाने की यात्रा कितनी विधियों से कर सकता है?

  1. 72
  2. 144
  3. 14
  4. 19
उत्तर :

हल : (A) सही उत्तर है। नीचे दी आकृति में, A से B तक A ⇄ B ⇄ C

4 बस मार्ग हैं और B से C तक 3 मार्ग हैं। अतः, A से C तक जाने के लिए, 4 × 3 = 12 प्रकार या विधियाँ हैं। यह आने-जाने की यात्रा है, इसलिए वह व्यक्ति C से A, B से होकर वापस भी जाएगा। यह प्रतिबंध है कि वह C से B और फिर B से A उसी बस मार्ग से यात्रा नहीं कर सकता जिससे वह गया था, अर्थात् वह उसका एक से अधिक बार प्रयोग नहीं कर सकता। अतः, वापसी यात्रा के लिए, 2 × 3 = 6 विधियाँ हैं। अतः, वांछित विधियों की कुल संख्या = 12 × 6 = 72.

7 पुरुष और 5 महिलाओं में से 3 पुरुष और 2 महिलाओं वाली एक कमेटी निम्नलिखित में से कितने प्रकार से बनायी जा सकती हैं?

  1. 45
  2. 350
  3. 4200
  4. 230
उत्तर :

हल : (B) सही उत्तर है। 7 पुरुषों में से 3 पुरुष प्रकार से चुने जा सकते हैं तथा 5 महिलाओं में से 2 महिलाएँ प्रकार से चुनी जा सकती हैं। अतः, कमेटी चुनने के प्रकारों की संख्या है।

शब्द ‘EAMCOT’ के सभी अक्षरों को विभिन्न संभव प्रकारों से व्यवस्थित किया जाता है। ऐसी व्यवस्थाओं के कुल प्रकारों, जिनमें कोई भी दो स्वर साथ-साथ नहीं होंगे, की संख्या है

  1. 360
  2. 144
  3. 72
  4. 54
उत्तर :

हल : (B) सही उत्तर है। हम जानते हैं कि यहाँ 3 व्यंजन हैं और 3 स्वर E, A और O हैं। क्योंकि किन्हीं भी दो स्वरों को एक साथ नहीं रहना है, अत: इनके स्थान 'X' से अंकित किये गये हैं; X M X C X T X ये स्वर प्रकार से व्यवस्थित किये जा सकते हैं तथा 3 व्यंजन प्रकार से व्यवस्थित किए जा सकते हैं। अतः, प्रकारों की वांछित संख्या =

वर्णमाला के 10 विभिन्न अक्षर दिये हुए हैं। इन दिये हुए अक्षरों से 5 अक्षरों वाले शब्द बनाये जाते हैं तब उन शब्दों की संख्या, जिनमें कम से कम एक अक्षर की पुनरावृत्ति होगी।

  1. 69760
  2. 30240
  3. 99748
  4. 99784
उत्तर :

हल : (A) सही विकल्प है। 5 अक्षरों वाले शब्दों की संख्या (जबकि एक अक्षर की पुनरावृत्ति हो सकती है) । पुनः, 5 भिन्न-भिन्न अक्षरों वाले शब्दों की संख्या अत:, वांछित शब्दों की संख्या

विभिन्न रंगों के 6 झंडों में से एक या अधिक झंडों का प्रयोग करते हुए, दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या है-

  1. 63
  2. 1956
  3. 720
  4. 21
उत्तर :

हल सही उत्तर B है। एक झंडे के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या दो झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या तीन झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या चार झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या पाँच झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या छ: झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या अतः, एक समय पर एक या अधिक झंडों का प्रयोग करते हुए दिये जा सकने वाले संकेतों की कुल संख्या (योग सिद्धांत के प्रयोग से)

किसी परीक्षा में, तीन बहु-विकल्पीय प्रश्न हैं तथा ऐसे प्रत्येक प्रश्न में चार विकल्प हैं। उन विधियों की संख्या, जिनसे कोई विद्यार्थी सभी उत्तर सही करने में असफल रहेगा, है:

  1. 11
  2. 12
  3. 27
  4. 63
उत्तर :

हल सही विकल्प (D) है। यहाँ तीन बहु विकल्पीय प्रश्न हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार संभव उत्तर हैं। अत:, संभव उत्तरों की कुल संख्या इन संभव उत्तरों में से केवल एक ही प्रकार के सभी उत्तर सही हो सकते हैं। अतः, उन विधियों की संख्या, जिनमें कोई विद्यार्थी सभी उत्तर सही देने में असफल रहेगा

सरल रेखाएँ और एक ही तल में हैं और समांतर हैं। पर कुल बिंदु, पर कुल बिंदु और पर कुल बिंदु लिये जाते हैं। इन बिंदुओं को शीर्ष लेते हुए बनाये जा सकने वाले त्रिभुजों की अधिकतम संख्या है-

उत्तर :

हल (B) सही उत्तर है। यहाँ कुल बिंदु हैं, जिन्हें त्रिभुज देने चाहिए। परंतु पर स्थित बिंदुओं में से 3 बिंदु एक साथ लेने पर, संचय बनेंगे, जिनसे कोई त्रिभुज प्राप्त नहीं होगा। इसी प्रकार और त्रिभुज भी प्राप्त नहीं होंगे। अतः, त्रिभुजों की वांछित संख्या

यदि तो बराबर है

  1. 20
  2. 12
  3. 6
  4. 30
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

यदि एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या है

  1. 36
  2. 64
  3. 12
  4. 32
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

अंक 2, 3, 4 और 7 को केवल एक बार प्रयोग करते हुए इनसे चार अंकों की बनायी जा सकने वाली विभिन्न संख्याओं की कुल संख्या है

  1. 120
  2. 96
  3. 24
  4. 100
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

अंक 3, 4, 5 और 6 को एक साथ लेकर उनकी सहायता से बनायी जा सकने वाली सभी संख्याओं के इकाई के स्थान के अंकों का योग है

  1. 432
  2. 108
  3. 36
  4. 18
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

4 स्वर और 5 व्यंजनों में से 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर बनाये जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या बराबर है

  1. 60
  2. 120
  3. 7200
  4. 720
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

अंक 0, 1, 2, 3, 4 और 5 का बिना पुनरावृत्ति के प्रयोग करने पर, 3 से विभाज्य पाँच अंकों की संख्या बनायी जाती है। ऐसा करने के प्रकारों की कुल संख्या है

  1. 216
  2. 600
  3. 240
  4. 3125

[संकेत: पाँच अंकों की संख्याएँ अंक 0, 1, 2, 4, 5 या अंक, 1, 2, 3, 4, 5 का प्रयोग करके बनायी जा सकती हैं, क्योंकि इन स्थितियों में अंकों का योग 3 से विभाज्य है।]

उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

एक कमरे में प्रत्येक व्यक्ति प्रत्येक अन्य व्यक्ति से हाथ मिलाता है। कुल 66 हाथ मिलाये गये हैं। इस कमरे में व्यक्तियों की संख्या है

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

12 बिंदुओं के एक समुच्चय के बिंदुओं को शीर्ष मानते हुए, जिनमें से 7 बिंदु एक ही रेखा में हैं, बनाये जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है

  1. 105
  2. 15
  3. 175
  4. 185
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

चार समांतर रेखाओं वाले एक समुच्चय की रेखाओं द्वारा तीन समांतर रेखाओं वाले एक समुच्चय की रेखाओं को प्रतिच्छेद करने पर बन सकने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या है

  1. 6
  2. 18
  3. 12
  4. 9
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

22 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ियों की टीम बनाने की संख्या, जब उनमें से 2 को सदैव सम्मिलित किया जाए और 4 को सदैव छोड़ दिया जाए, बराबर है

उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति वाले 5 अंक के टेलीफोन नंबरों की संख्या है

  1. 90,000
  2. 10,000
  3. 30,240
  4. 69,760
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

चार पुरुष और छः महिलाओं में से एक कमेटी इस प्रकार चुननी है कि उसमें कम से कम दो पुरुष हों तथा उनसे दोगुनी महिलाएँ हों। कमेटी को चुनने के प्रकारों की संख्या है

  1. 94
  2. 126
  3. 128
  4. कोई नहीं
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

9 अंकों वाली ऐसी संख्यांक जिनके सभी अंक भिन्न हों, हैं:

उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

शब्द ARTICLE के सभी अक्षरों से बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या जिसमें, स्वर सम स्थानों पर रहे, है:

  1. 1440
  2. 144
उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

पाँच विभिन्न हरे रोगन, चार विभिन्न नीले रोगन तथा तीन विभिन्न लाल रोगन के दिये रहने पर, कम से कम एक हरे रोगन और एक नीले रोगन को लेते हुए, चयन किये जा सकने वाले रोगनों के संचयों की संख्या है

  1. 3600
  2. 3720
  3. 3800
  4. 3600

[संकेत: 5 हरे रोगन, 4 नीले रोगन और तीन लाल रोगनों का चयन करने अथवा चयन न करने के प्रकारों की संख्याएँ क्रमश: , और हैं।]

उत्तर :

सही विकल्प (a) है।

उच्च स्तरीय बुद्धि कौशल प्रश्न [High Order Thinking Skills (HOTS) Questions] ​

2019 (II) ​

किसके बराबर है?

उत्तर :

हल: (c)

यदि में 17 शून्य हैं, तो का मान क्या है?

  1. 95
  2. 85
  3. 80
  4. का ऐसा कोई मान अस्तित्व में नहीं है
उत्तर :

हल: (b) हम जानते हैं कि के प्रत्येक अंतराल में एक शून्य होता है। यानी, में एक शून्य है। में दो शून्य हैं। में 17 शून्य हैं। अतः, का मान 85 है।

एक अष्टभुज (octagon) के विकर्णों की संख्या क्या है?

  1. 48
  2. 40
  3. 28
  4. 20
उत्तर :

हल: (d) एक अष्टभुज के शीर्षों की संख्या एक समतल में बिंदुओं की संख्या बिंदुओं द्वारा बनने वाली सीधी रेखाओं की कुल संख्या विकर्णों की संख्या सीधी रेखाओं की कुल संख्या अष्टभुज की भुजाओं की संख्या

यदि और है, तो का मान क्या है?

  1. 7
  2. 14
  3. 28
  4. 56
उत्तर :

हल: (c) यदि और , —(i) और —(ii) समीकरण (i) और (ii) से, हमें प्राप्त होता है: समीकरण (i) में का मान रखने पर: अब,

2019 (I) ​

यदि है, तो किसके बराबर है?

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 16
उत्तर :

हल: (b) दिया है,

एक समतल में 10 बिंदु हैं। इन बिंदुओं में से कोई भी तीन बिंदु एक सीधी रेखा में नहीं हैं। बिंदुओं को मिलाने पर बनने वाली सीधी रेखाओं की कुल संख्या क्या है?

  1. 90
  2. 45
  3. 40
  4. 30
उत्तर :

हल: (b) दिया गया है, एक समतल में 10 बिंदु हैं जिनमें से कोई भी तीन बिंदु एक सीधी रेखा में नहीं हैं। 10 बिंदुओं से बनने वाली सीधी रेखाओं की कुल संख्या है:

6 प्रोग्रामर और 4 टाइपिस्टों में से, एक कार्यालय 5 लोगों को भर्ती करना चाहता है। ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्या है जिससे कम से कम एक टाइपिस्ट की भर्ती की जा सके?

  1. 209
  2. 210
  3. 246
  4. 242
उत्तर :

हल: (c) हमारे पास 6 प्रोग्रामर और 4 टाइपिस्ट हैं। 5 लोगों को भर्ती करने के तरीकों की संख्या ताकि कम से कम एक टाइपिस्ट हो:

अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 का प्रयोग करके तीन अंकों की कितनी सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

  1. 36
  2. 30
  3. 24
  4. 12
उत्तर :

हल: (c) यहाँ, इकाई का स्थान 2 या 4 द्वारा भरा जा सकता है, इसलिए तरीकों की संख्या 2 है। चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, इसलिए सैकड़े का स्थान और दहाई का स्थान तरीकों से भरा जा सकता है। तीन अंकों की सम संख्याओं की कुल संख्या

2018 (II) ​

  1. मान लीजिए , 2999 और 8001 के बीच स्थित उन पूर्णांकों की संख्या है जिनमें कम से कम दो अंक समान हैं। तब, किसके बराबर है?
  1. 2480
  2. 2481
  3. 2482
उत्तर :

हल: (b) मान लीजिए , 2999 और 8001 के बीच की संख्या है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, कुल संख्याएँ यदि पुनरावृत्ति की अनुमति न हो, कुल संख्याएँ इसलिए, $x = $ कम से कम दो बार दोहराए गए अंक

17 क्रिकेट खिलाड़ी हैं, जिनमें से 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं। 11 खिलाड़ियों की एक टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है, ताकि उसमें 3 गेंदबाज शामिल हों?

उत्तर :

हल: (d) यहाँ 17 क्रिकेट खिलाड़ी हैं, जिनमें से 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं। तरीकों की आवश्यक संख्या

अलग-अलग अंकों (0 से 9 तक) से बनाई जा सकने वाली 5 अंकों की संख्याओं की कुल संख्या है:

  1. 45360
  2. 30240
  3. 27216
  4. 15120
उत्तर :

हल: (c) 0 से 9 तक के अलग-अलग अंकों से बनाई जा सकने वाली 5 अंकों की संख्या इस प्रकार दी गई है: [ 9 ] [ 9 ] [ 8 ] [ 7 ] [ 6 ] तरीकों की आवश्यक संख्या

2018 (I) ​

अंकों 5, 6, 7, 8, 9 का प्रयोग करके 100 और 1000 के बीच कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

  3. 120
  4. 60
उत्तर :

हल: (d) 100 और 1000 के बीच की संख्याएँ तीन अंकों की होती हैं। चूंकि संख्याएँ 5, 6, 7, 8, 9 से बनाई जानी हैं और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, इसलिए संख्याओं की कुल संख्या

अंकों 1, 5, 0, 6, 7 का प्रयोग करके बिना पुनरावृत्ति के 10 से विभाज्य चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

  1. 24
  2. 36
  3. 44
  4. 64
उत्तर :

हल: (a) हमें 1, 5, 0, 6, 7 का प्रयोग करके चार अंकों की संख्याएँ बनानी हैं जो 10 से विभाज्य हों। चूंकि संख्याएँ 10 से विभाज्य होनी चाहिए, इसलिए इकाई का स्थान अवश्य ही शून्य (0) होना चाहिए। ऐसी संख्याओं की कुल संख्या अंकों 1, 5, 6, 7 में से तीन अंकों के क्रमचय

12 बिंदुओं के एक समुच्चय से शीर्षों को चुनकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या क्या है, जिनमें से सात बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं?

  1. 185
  2. 175
  3. 115
  4. 105
उत्तर :

हल: (a) त्रिभुजों की आवश्यक संख्या

किसके बराबर है?

उत्तर :

हल: (d) हमारे पास है,

2017 (II) ​

एक चाय पार्टी का आयोजन 16 लोगों के लिए एक लंबी मेज के दोनों ओर आठ-आठ कुर्सियों के साथ किया जाता है। चार विशेष पुरुष एक विशेष ओर बैठना चाहते हैं और दो विशेष पुरुष दूसरी ओर बैठना चाहते हैं। उन्हें कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

उत्तर :

हल: (c) चूंकि, चार विशेष पुरुष एक विशेष ओर (मान लीजिए A) बैठना चाहते हैं और दो अन्य विशेष पुरुष दूसरी ओर (मान लीजिए B) बैठना चाहते हैं। इसलिए, हमारे पास 10 मेहमान बचे हैं जिनमें से हम 4 को ओर A के लिए और 6 को ओर B के लिए चुनते हैं। अतः, मेज के लिए चयनों की संख्या अब, मेज के प्रत्येक ओर के 8 व्यक्तियों को आपस में तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, व्यवस्थाओं की कुल संख्या

2017 (I) ​

मान लीजिए है। तब, A के दो या तीन अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या क्या है?

  1. 45
  2. 120
  3. 165
  4. 330
उत्तर :

हल: (c) दिया गया समुच्चय दो या तीन अवयवों वाले A के उपसमुच्चयों की संख्या

अंकों 1, 2 और 3 से तीन अंकों की संख्याएँ इस प्रकार बनाई जाती हैं कि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती है। ऐसी तीन अंकों की संख्याओं का योग क्या है?

  1. 1233
  2. 1322
  3. 1323
  4. 1332
उत्तर :

हल: (d) अंकों 1, 2 और 3 का प्रयोग करके बनने वाली तीन अंकों की संख्याओं की कुल संख्या (यदि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती है) आवश्यक संख्याएँ हैं: 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 अतः, उपरोक्त छह संख्याओं का योग

व्यंजन (consonant) से शुरू और व्यंजन पर ही समाप्त होने वाले शब्द 'EQUATION' के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले विभिन्न शब्दों (आठ अक्षरों वाले शब्द) की संख्या क्या है?

  1. 5200
  2. 4320
  3. 3000
  4. 2160
उत्तर :

हल: (b) [ व्यञ्जन ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ व्यञ्जन ]

शब्द 'EQUATION' में तीन व्यंजन हैं। आवश्यक शब्द का पहला और अंतिम स्थान तरीकों से भरा जा सकता है और शब्द 'EQUATION' में 5 स्वर (vowels) हैं। पहले और अंतिम स्थान के बीच के 6 स्थानों को 6 अक्षरों द्वारा तरीकों से भरा जा सकता है विभिन्न शब्दों की आवश्यक संख्या

2016 (II) ​

1000 और 9999 के बीच ऐसी कितनी विषम संख्याएँ (odd integers) हैं जिनमें कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?

  1. 2100
  2. 2120
  3. 2240
  4. 3331
उत्तर :

हल: (c) 1000 और 9999 के बीच बिना दोहराए गए अंकों वाली विषम संख्याएँ हैं:

एक समतल में 15 बिंदुओं में से, बिंदु एक ही सीधी रेखा में हैं। इन बिंदुओं को मिलाकर 445 त्रिभुज बनाए जा सकते हैं। का मान क्या है?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
उत्तर :

हल: (c) हम जानते हैं कि, यदि एक समतल में अलग-अलग बिंदु हैं, जिनमें से बिंदु संरेख (collinear) हैं (), तो बनने वाले त्रिभुजों की संख्या होती है। प्रश्न से, यहाँ एक समतल में 15 बिंदु हैं जिनमें से बिंदु एक ही सीधी रेखा में हैं, तब:

अंकों 0, 1, 2, 3 और 4 का प्रयोग करके बिना पुनरावृत्ति के 3 से विभाज्य पांच अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

  1. 96
  2. 48
  3. 32
  4. ऐसी कोई संख्या नहीं बनाई जा सकती
उत्तर :

हल: (d) हमें अंकों 0, 1, 2, 3 और 4 से पांच अंकों की संख्याएँ बनानी हैं जो 3 से विभाज्य हों। लेकिन इन दिए गए अंकों का योग है, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ऐसी कोई संख्या नहीं बनाई जा सकती।

2016 (I) ​

एक संगठन के 10 कर्मचारियों को 3 अवकाश यात्रा टिकट (holiday travel tickets) कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक कर्मचारी किसी भी एक या अधिक टिकटों के लिए पात्र है?

  1. 60
  2. 120
  3. 500
  4. 1000
उत्तर :

हल: (d) चूंकि, प्रत्येक टिकट संगठन के 10 कर्मचारियों में से किसी को भी दिया जा सकता है। तरीकों की आवश्यक संख्या

चार अंकों वाली ऐसी कितनी दशमलव संख्याएँ () हैं जिनमें कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?

  1. 3024
  2. 4536
  3. 5040
  4. इनमें से कोई नहीं
उत्तर :

हल: (b) अंकों 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 का प्रयोग करके बनाई जा सकने वाली चार अंकों की दशमलव संख्याओं की संख्या, जब कोई अंक दोहराया नहीं जाता है:

तीन '0' और दो '1' द्वारा कितने विभिन्न संदेशों को प्रदर्शित किया जा सकता है?

  1. 10
  2. 9
  3. 8
  4. 7
उत्तर :

हल: (a) यहाँ, हमें तीन '0' और दो '1' दिए गए हैं। अतः, विभिन्न संदेशों के तरीकों की संख्या:

2015 (II) ​

यदि शब्द 'AGAIN' के सभी अक्षरों से अलग-अलग शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें एक शब्दकोश (dictionary) की तरह वर्णानुक्रम (alphabetically) में व्यवस्थित किया जाता है, तो 50वें स्थान पर कौन सा शब्द होगा?

  1. NAAGI
  2. NAAIG
  3. IAAGN
  4. IAANG
उत्तर :

हल: (b) हमारे पास है, AGAIN A से शुरू होने वाले शब्द G से शुरू होने वाले शब्द I से शुरू होने वाले शब्द कुल अक्षरों से बने शब्दों की संख्या अब तक 48 है। 49वाँ शब्द NAAGI होगा और 50वाँ शब्द NAAIG होगा।

15 खिलाड़ियों के समूह में से 11 खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है, ताकि टीम के कप्तान को हमेशा शामिल किया जाए?

  1. 165
  2. 364
  3. 1001
  4. 1365
उत्तर :

हल: (c) 15 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ियों के चयन की कुल संख्या जिसमें कप्तान हमेशा शामिल हो

एक बहुभुज (polygon) में 44 विकर्ण (diagonals) हैं। इसकी भुजाओं की संख्या है:

  1. 11
  2. 10
  3. 8
  4. 7
उत्तर :

हल: (a) मान लीजिए बहुभुज की भुजाओं की संख्या है। तब, विकर्णों की संख्या और अतः, बहुभुज में 11 भुजाएँ हैं।

एक संगठन के 20 कर्मचारियों को 3 अवकाश यात्रा टिकट कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक कर्मचारी किसी भी एक या अधिक टिकटों के लिए पात्र है?

  1. 1140
  2. 3420
  3. 6840
  4. 8000
उत्तर :

हल: (d) चूंकि, प्रत्येक कर्मचारी एक या अधिक टिकटों के लिए पात्र है। अतः, तरीकों की कुल संख्या

अंकों 0, 1, 2, 3, 4 और 5 का प्रयोग करके तीन अंकों की कितनी सम संख्याएँ (even numbers) बनाई जा सकती हैं जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

  1. 60
  2. 56
  3. 52
  4. 48
उत्तर :

हल: (c) हमारे पास अंक 0, 1, 2, 3, 4 और 5 हैं। सम संख्या: (i) जब 0 इकाई के स्थान पर हो X X X 4 5 0 संख्याएँ

(ii) जब 0 इकाई के स्थान पर न हो 4 4 2 X X X 2 या 4 संख्याएँ

कुल सम संख्याएँ

2015 (I) ​

मान लीजिए है। तब, A के ठीक दो अवयवों (exactly two elements) वाले उपसमुच्चयों की संख्या है:

  1. 20
  2. 40
  3. 45
  4. 90
उत्तर :

हल: (c) ठीक दो अवयव रखने वाले A के उपसमुच्चयों की आवश्यक संख्या

शब्द 'NATION' के सभी अक्षरों का प्रयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं, ताकि तीनों स्वर (vowels) कभी भी एक साथ न आएँ?

  1. 354
  2. 348
  3. 288
  4. इनमें से कोई नहीं
उत्तर :

हल: (c) शब्द 'NATION' को जितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है उसकी संख्या

उन तरीकों की संख्या जिनमें शब्द 'NATION' के तीनों स्वर एक साथ आते हैं:

शब्दों की आवश्यक संख्या:

5 पत्रों को 7 पत्र पेटियों (letter boxes) में कितने तरीकों से डाला जा सकता है?

  4. 2520
उत्तर :

हल: (a) हम जानते हैं कि, एक समय में वस्तुओं को लेकर विभिन्न वस्तुओं के उन क्रमचयों की संख्या जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति होती है, होती है। यहाँ 5 पत्र और 7 पत्र पेटियाँ हैं। पहले पत्र को किन्हीं भी 7 पत्र पेटियों में डाला जा सकता है तरीके। इसी प्रकार, दूसरे, तीसरे, चौथे और पाँचवें पत्र को क्रमशः 7 तरीकों से डाला जा सकता है। तरीकों की आवश्यक संख्या

15 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

  1. 364
  2. 1001
  3. 1365
  4. 32760
उत्तर :

हल: (c) 15 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ी इस प्रकार चुने जा सकते हैं:

2014 (I) ​

निम्नलिखित जानकारी को ध्यानपूर्वक पढ़ें और नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दें:

दिया गया है कि, और

  1. किसके बराबर है?
    1. 11
    2. 12
    3. 13
    4. 14
  2. किसके बराबर है?
    1. 2
    2. 3
    3. 4
    4. 5
  3. किसके बराबर है?
    1. 6
    2. 24
    3. 120
    4. 720
उत्तर :

हलों का स्पष्टीकरण (प्रश्न संख्या 1-3): दिया है, —(i)

और —(ii)

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1. (d) अब, समीकरण (i) में का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

2. (c) चूँकि, हम पहले ही का मान प्राप्त कर चुके हैं,

3. (b) हमारे पास है,

7 व्यंजनों (consonants) और 4 स्वरों (vowels) में से, 3 व्यंजनों और 2 स्वरों को मिलाकर शब्द बनाए जाने हैं। इस प्रकार बनने वाले शब्दों की संख्या क्या है?

  1. 25200
  2. 22500
  3. 10080
  4. 5040
उत्तर :

हल: (a) 7 व्यंजनों में से 3 व्यंजन तरीकों से चुने जा सकते हैं। 4 स्वरों में से 2 स्वर तरीकों से चुने जा सकते हैं। शब्दों की आवश्यक संख्या [चूँकि, 5 चुने गए अक्षरों को आपस में 5 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है]

शब्द 'AGAIN' के अक्षरों में से चार अक्षर लेकर कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक शब्द को A से शुरू होना हो?

  1. 6
  2. 12
  3. 24
  4. इनमें से कोई नहीं
उत्तर :

हल: (c) A ……. निश्चित है। शब्द 'AGAIN' में पाँच अक्षर हैं: 2A, 1G, 1A, 1I, 1N। चूँकि एक A पहले स्थान पर निश्चित है, इसलिए हमें 3 रिक्त स्थानों में शेष बचे 4 अक्षरों को व्यवस्थित करना होगा। तरीकों की आवश्यक संख्या

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