Class 11 Math Chapter 2 Notes Hindi NCERT

🧬 अध्याय 2: संबंध एवं फलन (Relations and Functions) ​

गणित में 'फलन' (Function) को पूरी आधुनिक गणित (विशेषकर Calculus या कलन) की आत्मा माना जाता है। किसी भी ऊँचाई, ग्राफ, या गणितीय मॉडल को समझने के लिए संबंध और फलन की बुनियादी समझ होना अनिवार्य है। आइए इस वैचारिक अध्याय को बहुत ही आसान और रोचक तरीके से समझते हैं।

1. समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product of Sets) 🔀✖️⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

संबंध और फलन को समझने की पहली सीढ़ी कार्तीय गुणनफल है।

• क्रमित युग्म (Ordered Pair) 👥: दो अवयवों का ऐसा जोड़ा जो एक निश्चित क्रम में लिखा हो, जैसे । यहाँ पहला घटक और दूसरा घटक है। (⚠️ ध्यान दें: जब तक कि न हो)।
• कार्तीय गुणनफल की परिभाषा: "दो गैर-रिक्त समुच्चयों और का कार्तीय गुणनफल, जिसे से दर्शाते हैं, उन सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय होता है, जहाँ और हो।"

🧮 उदाहरण द्वारा समझें: यदि और है, तो निकालें:

• हल: के प्रत्येक अवयव का जोड़ा के प्रत्येक अवयव के साथ बनाएँ क्रमानुसार:निष्कर्ष: (यह क्रमविनिमेय नहीं होता)।

🚀 कार्तीय गुणनफल के महत्वपूर्ण सूत्र (JEE / Objective Special) 💎: ​

1. अवयवों की कुल संख्या का सूत्र ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: यदि समुच्चय में अवयवों की संख्या है और में संख्या है, तो उनके कार्तीय गुणनफल में अवयवों की कुल संख्या होगी।
2. यदि या में से कोई भी एक अपरिमित (Infinite) समुच्चय है, तो भी अपरिमित होगा।
3. त्रिक कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product of 3 Sets): । यहाँ को क्रमित त्रिक (Ordered Triplet) कहते हैं। (यह 3D स्पेस के बिंदुओं को दर्शाता है)।

2. संबंध क्या है? (What is a Relation? - R) ⛓️🤝⭐⭐⭐⭐⭐ ​

दैनिक जीवन में संबंध का अर्थ होता है जैसे— भाई-बहन का संबंध, पिता-पुत्र का संबंध। गणित में संबंध दो समुच्चयों के अवयवों के बीच के जुड़ाव को दर्शाता है।

• परिभाषा: "किसी गैर-रिक्त समुच्चय से गैर-रिक्त समुच्चय में एक संबंध (), कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय (Subset) होता है।"
• यह उपसमुच्चय के क्रमित युग्मों के प्रथम और द्वितीय घटकों के बीच एक विशेष नियम या संबंध स्थापित करने से प्राप्त होता है।

🎯 संबंध के तीन मुख्य अंग: प्रांत, सह-प्रांत और परिसर ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

माना , समुच्चय से में एक संबंध है:

1. प्रांत (Domain) 🔮: संबंध के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों (First elements) के समुच्चय को संबंध का प्रांत कहते हैं।
2. परिसर (Range) 🎯: संबंध के सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों (Second elements) के समुच्चय को संबंध का परिसर कहते हैं।
3. सह-प्रांत (Codomain) 🌍: पूरे के पूरे समुच्चय को संबंध का सह-प्रांत कहते हैं।

[Image]

A (सेट 1) ────────── संबंध R ──────────> B (सेट 2)[ इनपुट अवयव ] [ पूरा सेट B = सह-प्रांत ](जोड़े के पहले तत्व) (जोड़े के दूसरे तत्व)│ │▼ ▼प्रांत (Domain) परिसर (Range)

🚀 संबंधों की कुल संख्या का महा-सूत्र (가장 High Repeated Exam Formula) ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: यदि समुच्चय में अवयव हैं और में अवयव हैं, तो में कुल अवयव होंगे। चूँकि प्रत्येक उपसमुच्चय एक संबंध है, अतः से में बनने वाले संबंधों की कुल संख्या होती है।

📝 संबंध के निरूपण के प्रकार: ​

• रोस्टर रूप: अवयवों को जोड़ों के रूप में लिखना, जैसे ।
• समुच्चय निर्माण रूप: नियम के रूप में लिखना, जैसे ।
• तीर आरेख (Arrow Diagram) 🏹: दोनों समुच्चयों के वृत्तों को बनाकर तीर के निशानों द्वारा अवयवों का मिलान दर्शाना।

3. फलन क्या है? (What is a Function? - f) ⚙️🔮 [अध्याय की जान] ⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

फलन, संबंध का ही एक विशिष्ट और अनुशासित रूप है। इसे एक 'गणितीय मशीन' (Machine) की तरह समझा जा सकता है, जिसमें एक निश्चित इनपुट डालने पर एक अद्वितीय आउटपुट प्राप्त होता है।

• परिभाषा (The Matrix Rule): "समुच्चय से समुच्चय का संबंध एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय के प्रत्येक अवयव का समुच्चय में एक और केवल एक (अद्वितीय / Unique) प्रतिबिंब (Image) होता है।"

[Image]

[ फलन (Function) होने की दो जादुई शर्तें ] — कंठस्थ करें ⚠️1. सेट A का कोई भी अवयव खाली (बिना जोड़े के) नहीं छूटना चाहिए।2. सेट A का एक अवयव सेट B के दो अलग-अलग अवयवों से नहीं जुड़ सकता।(अर्थात, एक इनपुट के दो आउटपुट नहीं हो सकते ❌)।

[Image]

A B A B A B• 1 ───> • a • 1 ───> • a • 1 ───> • a• 2 ───> • b • 2 ───> • b • 2 ──/ • b• 3 ───> • c • 3 • 3 ───> • c(i) फलन है ✅ (ii) फलन नहीं है ❌ (iii) फलन है ✅(3 खाली छूट गया) (दो इनपुट का एक आउटपुट संभव है)

• संकेत: इसे द्वारा दर्शाते हैं। यदि , तो हम लिखते हैं , जहाँ को का प्रतिबिंब (Image) और को का पूर्व-प्रतिबिंब (Pre-image) कहते हैं।
• फलन का प्रांत, सह-प्रांत व परिसर: फलन में, पूरा समुच्चय इसका प्रांत होता है, पूरा समुच्चय सह-प्रांत होता है, और प्राप्त आउटपुटों का संग्रह परिसर होता है।

4. कुछ वास्तविक फलन और उनके आलेख (Real Functions & Graphs) 📈📊 [JEE Hot-Topic] ​

प्रतियोगी परीक्षाओं और कैलकुलस की उच्च समझ के लिए इन मुख्य फलनों के समीकरण, प्रांत, परिसर और आलेख (Graphs) याद होने चाहिए:

१. तत्समक फलन (Identity Function) ──: ​

• समीकरण: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए वही आउटपुट देना (या )।
• प्रांत (Domain): (सभी वास्तविक संख्याएँ)
• परिसर (Range):
• ग्राफ: यह मूल बिंदु से होकर जाने वाली झुकी हुई एक सीधी सरल रेखा होती है।

②. अचर फलन (Constant Function) ──: ​

• समीकरण: इनपुट कुछ भी हो, आउटपुट हमेशा एक निश्चित संख्या ही रहती है (जहाँ एक अचर है)।
• प्रांत: | परिसर: (केवल वह एक संख्या)
• ग्राफ: यह -अक्ष के समांतर खींची गई एक सीधी रेखा होती है।

③. मापांक फलन (Modulus Function) 📐 절대값 ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

• समीकरण: यह मशीन इनपुट को हमेशा धनात्मक (+) बनाकर बाहर निकालती है
• प्रांत: | परिसर ⭐: (केवल शून्य और सभी धनात्मक संख्याएँ, क्योंकि उत्तर कभी माइनस में नहीं आता)।
• ग्राफ: यह मूल बिंदु पर 'V' आकार (V-shape) की आकृति बनाता है।

④. महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function) 🪜 [Step Function]: ​

• समीकरण: यह इनपुट से छोटा या उसके बराबर निकटतम महत्तम पूर्णांक देता है (जैसे: , , )।
• प्रांत: | परिसर: (केवल पूर्णांक संख्याएँ)।
• ग्राफ: यह सीढ़ी के डंडों (Steps) जैसी आकृति बनाता है।

⑤. चिह्नक फलन (Signum Function) 🚩: ​

• समीकरण:
• प्रांत: | परिसर: (इसमें केवल ये तीन ही आउटपुट होते हैं)।

5. फलनों का बीजगणित (Algebra of Real Functions) 🧮 ​

यदि दो वास्तविक फलन और हैं, तो नए फलनों का प्रांत हमेशा उनके उभयनिष्ठ प्रांत () द्वारा तय होता है:

1. योग:
2. अंतर:
3. गुणन:
4. भागफल ⚠️: (शर्त: जहाँ हो)।

🚀 वास्तविक फलनों का प्रांत और परिसर निकालने की जादुई शार्टकट ट्रिक्स 🧙‍♂️✨ ​

JEE Main और बोर्ड परीक्षाओं में वास्तविक फलनों का प्रांत (Domain) और परिसर (Range) निकालने के कठिन न्यूमेरिकल पूछे जाते हैं। इन्हें हल करने की अचूक युक्तियाँ:

🎯 प्रांत (Domain) निकालने के 2 मुख्य स्वर्णिम नियम ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

प्रांत का अर्थ है के वे वैध (Legal) मान जिनके लिए फलन का आउटपुट वास्तविक हो।

1. हर (Denominator) शून्य नहीं होना चाहिए ❌: यदि फलन के रूप में है, तो हर को शून्य के बराबर रखकर उन बिंदुओं को पूरे वास्तविक समुच्चय से बाहर निकाल दें।
   • जैसे: का प्रांत , क्योंकि रखने पर हर शून्य () हो जाएगा।
2. रूट () के अंदर ऋणात्मक संख्या नहीं होनी चाहिए ❌: यदि फलन के रूप में है, तो रूट के अंदर के भाग को हमेशा अऋणात्मक () रखें और असमर्थता (Inequality) को हल करें।
   • जैसे: का प्रांत निकालने के लिए: । अतः प्रांत सीधे बंद अंतराल होगा।

🧮 परिसर (Range) निकालने की 'x के पदों में' वाली ट्रिक: ​

परिसर का अर्थ है प्राप्त होने वाले सभी वास्तविक आउटपुटों () का संग्रह।

• विधि: सबसे पहले समीकरण को के रूप में लिखें। अब पूरे समीकरण को हल करके का मान के पदों में व्यक्त करें ()। इसके बाद पर वही प्रांत वाले दोनों नियमों को लागू कर दें, परिसर तुरंत प्राप्त हो जाएगा।