Class 11 Math Chapter 3 Notes Hindi NCERT

📐 अध्याय 3: त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) ​

कक्षा 10 में हमने समकोण त्रिभुज के संदर्भ में त्रिकोणमितीय अनुपातों ( आदि) और न्यूनकोणों ( से ) के मानों का अध्ययन किया था। कक्षा 11 में हम इस अवधारणा को व्यापक रूप देंगे और इन्हें 'फलन' (Functions) के रूप में पढ़ेंगे, जहाँ कोणों का मान केवल तक सीमित न रहकर धनात्मक या ऋणात्मक कुछ भी हो सकता है।

1. कोणों का मापन: डिग्री और रेडियन (Measuring Angles) 🔄📐⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

ज्यामिति में कोणों को मापने की दो मुख्य प्रणालियाँ होती हैं:

1. डिग्री माप (Degree Measure) : यदि प्रारंभिक रेखा से अंतिम रेखा का घुमाव एक पूर्ण परिक्रमण का वाँ भाग हो, तो उसे 1 डिग्री () कहते हैं।
   • डिग्री () = मिनट () ⏱️
   • मिनट () = सेकंड ()
2. रेडियन माप (Radian Measure) ⭕⭐: इकाई त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर इकाई लंबाई के चाप द्वारा बने कोण को 1 रेडियन कहते हैं।
   • ⚡ सूत्र: यदि त्रिज्या वाले वृत्त में चाप की लंबाई हो और केंद्र पर कोण (रेडियन में) बने, तो:

🔀 डिग्री और रेडियन के बीच संबंध (가장 High Repeated Concept) ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

एक पूरे वृत्त के चक्कर में या रेडियन होते हैं। अतः:

🧙‍♂️ यूनिट कन्वर्जन की जादुई शॉर्टकट ट्रिक्स: ​

• ट्रिक 1 (डिग्री से रेडियन में बदलना): दिए गए मान में से गुणा करें।
  • जैसे:
• ट्रिक 2 (रेडियन से डिग्री में बदलना): दिए गए मान में से गुणा करें (या सीधे की जगह रख दें)।
  • जैसे:
• (💡 प्रतियोगिता परीक्षा फैक्ट: होता है)।

2. त्रिकोणमितीय फलन और उनके चिह्न (Trigonometric Functions & Signs) 📊🧭⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

यदि हम एक इकाई वृत्त (Unit Circle) की कल्पना करें, तो वृत्त के किसी बिंदु के निर्देशांक को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

क) ऋणात्मक कोणों का नियम (Negative Angles) ⚠️: ​

• जब कोण घड़ी की सुई की दिशा में (Clockwise) मापा जाता है, तो वह ऋणात्मक होता है।
• केवल और ही माइनस (-) चिह्न को पचा पाते हैं (धनात्मक रहते हैं), बाकी सब माइनस को बाहर निकाल देते हैं:

ख) विभिन्न चतुर्थांशों में चिह्नों का नियम (ASTC Rule) 🍕🔄 सबसे Important ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

चारों चतुर्थांशों में कौन सा त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक (+) होगा और कौन सा ऋणात्मक (-), इसे याद रखने की ट्रिक है: "All Silver Tea Cups" या "After School To College"।

[Image]

द्वितीय चतुर्थांश (II) │ प्रथम चतुर्थांश (I)[ S ] │ [ A ]S = Sin / Csc (+) │ All = सभी फलन (+)बाकी सब (-) │────────────────────────┼────────────────────────तृतीय चतुर्थांश (III) │ चतुर्थ चतुर्थांश (IV)[ T ] │ [ C ]T = Tan / Cot (+) │ C = Cos / Sec (+)बाकी सब (-) │ बाकी सब (-)

3. बड़े कोणों के मान ज्ञात करना (Allied Angles) 🪐📐⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

जब परीक्षा में से बड़े कोण (जैसे— या ) का मान पूछा जाए, तो उसे हमेशा या के रूप में तोड़ते हैं।

🔀 बदलाव के दो स्वर्णिम नियम (Basing Rules) — कंठस्थ करें: ​

1. () और () की रेखा पर नो-चेंज (No Change) नियम ⭐⭐⭐⭐⭐: यदि कोण में या का उपयोग हुआ है, तो फलन नहीं बदलता (साइन साइन ही रहेगा, कॉस कॉस ही रहेगा)। केवल चतुर्थांश के अनुसार बाहर का चिह्न (+ या -) तय होता है।
   • जैसे: द्वितीय चतुर्थांश होने के कारण ।
   • जैसे: द्वितीय चतुर्थांश होने के कारण ।
2. () और () की रेखा पर चेंज (Change) नियम ⭐⭐⭐⭐⭐: यदि कोण में या का उपयोग हुआ है, तो फलन अपने पड़ोसी रूप में बदल जाता है:
   • जैसे: द्वितीय चतुर्थांश में साइन प्लस होता है, पर के कारण बदलकर हो जाएगा।

🧮 बड़े कोण का उदाहरण ( का मान निकालें): को के चक्करों में तोड़ें । चूँकि का चक्कर पूरा होने पर हम वापस पहली जगह आ जाते हैं (आवर्ती गुण), अतः:

4. त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर (Domain & Range) 📊 [JEE Special] ​

कैलकुलस के लिए यह तालिका बहुत महत्वपूर्ण है:

5. त्रिकोणमितीय सूत्रों की "महा-डायरी" (Master Formula Sheet) 📜🔥 [JEE / Board Lifeline] ​

इस अध्याय के प्रश्नों को हल करने के लिए नीचे दिए गए सूत्रों को श्रेणियों के आधार पर पूरी तरह याद कर लें (इनके बिना त्रिकोणमिति का पत्ता भी नहीं हिल सकता):

श्रेणी 1: योग और अंतर के सूत्र (Sum & Difference Formulas) ➕➖: ​

श्रेणी 2: दोगुने कोण के सूत्र (Double Angle Formulas - 2x) 가장 High Repeated ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: ​

• (💡 कैलकुलेटर/कैलकुलस शार्टकट: तथा यह सूत्र अवकलन/समाकलन में हजारों बार उपयोग होता है)।

श्रेणी 3: तिगुने कोण के सूत्र (Triple Angle Formulas - 3x) [JEE Special]: ​

श्रेणी 4: C-D सूत्र (Product to Sum / Sum to Product) ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

6. त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations) 🧮 ​

(विशेष नोट: NCERT के नवीनतम् संशोधित संक्षिप्त पाठ्यक्रम (Rationalized Syllabus) के अनुसार, कक्षा 11 की नई पाठ्यपुस्तकों से 'त्रिकोणमितीय समीकरणों के व्यापक हल' (प्रश्नावली 3.4) वाले भाग को हटा दिया गया है। लेकिन, JEE Main/Advanced और विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं के दृष्टिकोण से इसके मुख्य व्यापक हल (General Solutions) के सूत्रों को जानना अनिवार्य है):

• मुख्य हल (Principal Solution): कोण का वह मान जो (एक पूरे चक्कर) के बीच होता है। (इसके हमेशा दो मान प्राप्त होते हैं चतुर्थांश नियम से)।
• व्यापक हल (General Solution) — JEE Special 🚀⭐⭐⭐⭐⭐:
  1. यदि
  2. यदि
  3. यदि
  4. वर्गों के लिए संबंध: यदि या ।

🚀 परीक्षा और प्रतियोगिता विशेष शार्टकट ट्रिक्स (JEE / Polytechnic Quick Guide) 🧙‍♂️✨ ​

1. और का मान डायरेक्ट याद रखने की ट्रिक ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: परीक्षा में समय बचाने के लिए इन मानों को सीधे याद रखें, इन्हें सूत्र से निकाला जाता है:
2. अधिकतम और न्यूनतम मान की शार्टकट ट्रिक [가장 High Repeated JEE Question] 🚀: यदि कोई फलन के रूप में दिया गया है, तो:
   • इसका अधिकतम (Maximum) मान हमेशा होता है
   • इसका न्यूनतम (Minimum) मान हमेशा होता है
   • जैसे: का अधिकतम भार होगा। (2 सेकंड में उत्तर! 🎯)
3. रेडियन और का भ्रम ⚠️: जब त्रिकोणमिति में फलन के अंदर लिखा हो (जैसे ), तो उसका अर्थ हमेशा कोण के रूप में होता है। यदि वह फलन से बाहर अकेले लिखा हो, तभी उसका मान वास्तविक संख्या या लिया जाता है।