कक्षा 12 गणित अध्याय 1 सम्बन्ध एवं फलन नोट्स | NCERT

📚 अध्याय 1: सम्बन्ध एवं फलन (Relations and Functions) ​

यह नोट्स विशेष रूप से CBSE, बिहार बोर्ड (BSEB), अन्य राज्य बोर्ड (SCERT) तथा प्रतियोगी परीक्षाओं (JEE Main & Advanced, NDA) के हिंदी माध्यम के छात्रों के लिए तैयार किए गए हैं।

1. सम्बन्धों के प्रकार (Types of Relations) ​

माना एक गैर-रिक्त समुच्चय (Non-empty set) है। समुच्चय से में कोई सम्बन्ध , कार्तियन गुणन (Cartesian Product) का एक उपसमुच्चय () होता है।

🔹 1. रिक्त सम्बन्ध (Empty Relation) ​

यदि समुच्चय का कोई भी अवयव के किसी भी अवयव से सम्बन्धित नहीं हो, तो इसे रिक्त सम्बन्ध कहते हैं।

🔹 2. सार्वत्रिक सम्बन्ध (Universal Relation) ​

यदि समुच्चय का प्रत्येक अवयव के सभी अवयवों से सम्बन्धित हो, तो इसे सार्वत्रिक सम्बन्ध कहते हैं।

• नोट: रिक्त और सार्वत्रिक सम्बन्धों को 'तुच्छ सम्बन्ध' (Trivial Relations) भी कहा जाता है।

🔹 3. तत्समक सम्बन्ध (Identity Relation) ​

यदि समुच्चय का प्रत्येक अवयव केवल स्वयं से सम्बन्धित हो।

• उदाहरण: यदि , तो । यदि सम्बन्ध में आ जाए, तो वह तत्समक नहीं रहेगा।

2. मुख्य सम्बन्ध (तुल्यता सम्बन्ध के आधार) ​

किसी समुच्चय पर परिभाषित सम्बन्ध को एक तुल्यता सम्बन्ध (Equivalence Relation) कहा जाता है यदि वह निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता हो:

🌟 I. स्वतुल्य सम्बन्ध (Reflexive Relation) ​

समुच्चय के प्रत्येक अवयव का स्वयं से सम्बन्ध होना अनिवार्य है (इसके अतिरिक्त अन्य अवयवों से भी सम्बन्ध हो सकता है)।

• शर्त:

🌟 II. सममित सम्बन्ध (Symmetric Relation) ​

यदि का सम्बन्ध से है, तो का सम्बन्ध भी से होना चाहिए।

• शर्त: यदि

🌟 III. संक्रामक सम्बन्ध (Transitive Relation) ​

यदि का सम्बन्ध से है और का सम्बन्ध से है, तो का सम्बन्ध भी से होना चाहिए।

• शर्त: यदि तथा
• ⚠️ महत्वपूर्ण बिंदु (NDA/JEE): यदि हो परन्तु ऐसा कोई न हो जिसके लिए , तो वह सम्बन्ध संक्रामक माना जाता है (जब तक विरोध सिद्ध न हो)।

💡 तुल्यता सम्बन्ध (Equivalence Relation): यदि कोई सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों हो, तो उसे तुल्यता सम्बन्ध कहते हैं।

3. तुल्यता वर्ग (Equivalence Class) ​

यदि , समुच्चय पर एक तुल्यता सम्बन्ध है, और , तो से सम्बन्धित सभी अवयवों के समुच्चय को का तुल्यता वर्ग कहते हैं जिसे से निरूपित करते हैं।

• गुणधर्म:
  2. दो तुल्यता वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह असंयुक्त (Disjoint) होते हैं ( या )।
  3. सभी भिन्न तुल्यता वर्गों का संघ (Union) मूल समुच्चय के बराबर होता है।

4. फलनों के प्रकार (Types of Functions) ​

माना एक फलन है, जहाँ प्रांत (Domain) तथा सहप्रांत (Codomain) है।

[Image] एकैकी (One-One) बहु-एक (Many-One)A B A B——> [ a ] —–> [ a ]——> [ b ] —/——> [ c ] ——> [ b ]

🔹 1. एकैकी फलन (One-One or Injective Function) ​

यदि प्रांत के भिन्न-भिन्न अवयवों के सहप्रांत में भिन्न-भिन्न प्रतिबिम्ब (Images) हों।

• जाँचने की विधि (Algebraic): यदि
• Calculus Method (JEE/NDA): यदि फलन अपने पूरे प्रांत में निरंतर वर्धमान (Strictly Increasing) या निरंतर ह्रासमान (Strictly Decreasing) हो, तो वह एकैकी होता है अर्थात् या ।
• क्षैतिज रेखा परीक्षण (Horizontal Line Test): यदि मुख्य अक्ष के समांतर खींची गई कोई रेखा फलन के आरेख (Graph) को एक से अधिक बिंदु पर न काटे।

🔹 2. बहु-एक फलन (Many-One Function) ​

यदि प्रांत के दो या दो से अधिक अवयवों का सहप्रांत में समान प्रतिबिम्ब हो।

• यदि फलन एकैकी नहीं है, तो वह निश्चित रूप से बहु-एक होगा। (जैसे: )

🔹 3. आच्छादक फलन (Onto or Surjective Function) ​

यदि सहप्रांत का प्रत्येक अवयव, प्रांत के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब अवश्य हो (सहप्रांत में कोई अवयव खाली न छूटे)।

• शर्त: फलन का परिसर (Range) = सहप्रांत (Codomain)

🔹 4. अंतःक्षेपी फलन (Into Function) ​

यदि सहप्रांत में कम से कम एक ऐसा अवयव हो, जो प्रांत के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब न हो।

• शर्त: परिसर (Range) सहप्रांत (Codomain)

🌟 5. एकैकी आच्छादी फलन (Bijective Function) ​

यदि कोई फलन एकैकी (Injective) तथा आच्छादक (Surjective) दोनों हो, तो उसे एकैकी आच्छादी (Bijective) फलन कहते हैं।

• 💡 नोट: केवल एकैकी आच्छादी (Bijective) फलनों का ही व्युत्क्रम (Inverse) सम्भव होता है।

5. फलनों का संयोजन (Composition of Functions) ​

माना तथा दो फलन हैं। तब और का संयोजन, जिसे (g o f) द्वारा निरूपित किया जाता है, फलन होता है।

• सूत्र:
• अस्तित्व की शर्त: के परिभाषित होने के लिए का परिसर (Range), के प्रांत (Domain) का उपसमुच्चय होना चाहिए।
• मुख्य गुणधर्म:
  1. फलनों का संयोजन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है ()।
  2. फलनों का संयोजन साहचर्य नियम का पालन करता है ()।
  3. यदि और दोनों एकैकी आच्छादी (Bijective) हैं, तो भी एकैकी आच्छादी होगा और (Reversal Law)।

6. व्युत्क्रमणीय फलन (Invertible Function) ​

एक फलन व्युत्क्रमणीय कहलाता है, यदि एक ऐसे फलन का अस्तित्व हो कि:

जहाँ और क्रमशः समुच्चय और पर तत्समक फलन हैं। फलन को फलन का व्युत्क्रम कहते हैं और इसे से निरूपित करते हैं।

• महत्वपूर्ण प्रमेय: फलन व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि एकैकी आच्छादी (Bijective) है।
• व्युत्क्रम निकालने की विधि:
  1. दिए गए फलन को के रूप में लिखें।
  2. इस समीकरण को के पदों में हल करें, जिससे प्राप्त हो।
  3. प्राप्त ही है। अंत में चर को से प्रतिस्थापित कर दें।

7. द्विआधारी संक्रियाएँ (Binary Operations) ​

(नोट: यह खंड वर्तमान संशोधित CBSE पाठ्यक्रम से हटाया गया है, परन्तु बिहार बोर्ड (BSEB) तथा JEE/NDA के लिए महत्वपूर्ण है)

किसी समुच्चय पर एक द्विआधारी संक्रिया एक फलन है। हम को द्वारा निरूपित करते हैं।

• क्रमविनिमेय नियम (Commutative): यदि
• साहचर्य नियम (Associative): यदि
• तत्समक अवयव (Identity Element - ):
• व्युत्क्रम अवयव (Inverse Element - ):

🎯 क्विक रीविज़न की-पॉइंट्स (JEE / NDA / Boards) ​

• कुल सम्बन्धों की संख्या: यदि समुच्चय में अवयव हैं, तो पर कुल सम्भव सम्बन्धों की संख्या होती है।
• स्वतुल्य सम्बन्धों की संख्या:
• सममित सम्बन्धों की संख्या:
• फलनों की संख्या: यदि और हो, तो से में कुल फलनों की संख्या होती है।
• एकैकी फलनों की संख्या: यदि और हो:
  • यदि
  • यदि
• आच्छादक फलनों की संख्या: यदि और हो, तो कुल आच्छादक फलन होते हैं।