अध्याय 10: सदिश बीजगणित (Vector Algebra) ​

भौतिक विज्ञान और गणित में राशियों को दो भागों में बांटा जाता है: अदिश (Scalar) (केवल परिमाण, जैसे: द्रव्यमान, दूरी) और सदिश (Vector) (परिमाण और दिशा दोनों, जैसे: बल, वेग)। इस अध्याय में हम सदिशों के गणितीय गुणों का अध्ययन करेंगे।

1. आधारभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts) ​

• सदिश का निरूपण: एक सदिश को एक तीर वाले रेखाखंड या द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ प्रारंभिक बिंदु (Initial Point) और अंतिम बिंदु (Terminal Point) है।
• परिमाण (Magnitude): सदिश की लंबाई को उसका परिमाण कहते हैं, जिसे या से प्रदर्शित करते हैं। यह हमेशा एक गैर-ऋणात्मक (Non-negative) अदिश राशि होती है।
• स्थिति सदिश (Position Vector): मूलबिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु का स्थिति सदिश:

2. सदिशों के प्रकार (Types of Vectors) ​

1. शून्य सदिश (Zero Vector): जिसका परिमाण शून्य () हो और दिशा अनिश्चित हो। इसे से दर्शाते हैं। (प्रारंभिक और अंतिम बिंदु संपाती होते हैं)।
2. मात्रक / इकाई सदिश (Unit Vector): जिसका परिमाण (इकाई) हो। की दिशा में मात्रक सदिश को (a-cap) लिखा जाता है:
3. सह-प्रारंभिक सदिश (Co-initial Vectors): ऐसे दो या अधिक सदिश जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही हो।
4. संरेख सदिश (Collinear / Parallel Vectors): ऐसे सदिश जो एक ही रेखा के समांतर हों, भले ही उनके परिमाण और दिशाएँ भिन्न हों। यदि और संरेख हैं, तो:
5. समान सदिश (Equal Vectors): जिनके परिमाण और दिशा दोनों समान हों।
6. ऋणात्मक सदिश (Negative of a Vector): जिसका परिमाण समान हो लेकिन दिशा विपरीत हो। जैसे:

3. दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात (Direction Cosines & Ratios) ​

यदि कोई सदिश , अक्षों के साथ क्रमशः कोण बनाता है, तो:

• दिक्-कोसाइन (Direction Cosines - ):
• महत्वपूर्ण संबंध:
• दिक्-अनुपात (Direction Ratios): सदिश के घटक दिक्-अनुपात कहलाते हैं (ये दिक्-कोसाइन के समानुपाती होते हैं)।

4. सदिशों का गुणनफल (Product of Vectors) ​

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण भाग है, जहाँ से दीर्घ उत्तरीय प्रश्न और JEE/NDA के प्रश्न बनते हैं।

क) अदिश या बिंदु गुणनफल (Scalar or Dot Product) ​

दो सदिशों और का डॉट गुणनफल एक अदिश राशि होती है।

(जहाँ दोनों सदिशों के बीच का कोण है, )

• दो सदिशों के बीच का कोण:
• महत्वपूर्ण गुणधर्म:
  • लंबवत होने की शर्त: यदि
• प्रक्षेप (Projection): सदिश का सदिश पर प्रक्षेप =

ख) सदिश या वज्र गुणनफल (Vector or Cross Product) ​

दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल एक सदिश राशि होती है, जिसकी दिशा दोनों सदिशों के लंबवत होती है।

(जहाँ दोनों सदिशों के तल पर लंबवत इकाई सदिश है)

• सारणिक रूप (Determinant Form): यदि और हो, तो:
• महत्वपूर्ण गुणधर्म:
  • (क्रमविनिमेय नहीं है)
  • समांतर होने की शर्त: यदि

ज्यामितीय अनुप्रयोग (Geometric Applications): ​

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल: यदि और त्रिभुज की आसन्न भुजाएँ (Adjacent sides) हैं:
2. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) का क्षेत्रफल:
   • यदि भुजाएँ और हों
   • यदि विकर्ण (Diagonals) और हों

🚀 JEE / NDA के लिए विशेष ट्रिक्स (Quick Shortcuts) ​

1. लाग्रांज का सर्वसमिका (Lagrange's Identity): डॉट और क्रॉस प्रोडक्ट में संबंध:
2. लंबवत इकाई सदिश: और दोनों के लंबवत मात्रक सदिश निकालने का डायरेक्ट सूत्र:
3. त्रि-अदिश गुणनफल (Scalar Triple Product - बॉक्स प्रोडक्ट): । यदि यह शून्य () हो, तो तीनों सदिश समतलीय (Coplanar) होते हैं।