अध्याय 11: त्रि-विमीय ज्यामिति (Three-Dimensional Geometry) ​

त्रि-विमीय ज्यामिति में हम अंतरिक्ष (Space) में रेखाओं (Lines) के त्रिविमीय गुणों का अध्ययन सदिश बीजगणित (Vector Algebra) की सहायता से करते हैं।

1. रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात (Direction Cosines & Ratios) ​

क) दिक्-कोसाइन (Direction Cosines - ): ​

यदि कोई रेखा अंतरिक्ष में मूलबिंदु से गुजरती है और अक्षों की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः कोण बनाती है, तो:

• महत्वपूर्ण सर्वसमिका:
• त्रिकोणमितीय रूपांतरण:

ख) दिक्-अनुपात (Direction Ratios - ): ​

ऐसी कोई भी तीन संख्याएँ जो दिक्-कोसाइन के समानुपाती (Proportional) हों, दिक्-अनुपात कहलाती हैं।

• दिक्ष-अनुपात से दिक्-कोसाइन ज्ञात करना:

ग) दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात: ​

बिंदुओं और को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात होंगे:

2. अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण (Equation of a Line in Space) ​

एक रेखा का समीकरण दो स्थितियों में ज्ञात किया जा सकता है:

स्थिति 1: एक दिए गए बिंदु से गुजरने वाली तथा दिए गए सदिश के समांतर रेखा ​

• सदिश रूप (Vector Form): यदि रेखा बिंदु से गुजरती है और सदिश के समांतर है:
• कार्तीय रूप (Cartesian Form): यदि बिंदु हो और रेखा के दिक्-अनुपात हों:

स्थिति 2: दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा ​

• सदिश रूप (Vector Form): यदि रेखा दो बिंदुओं और से गुजरती है:
• कार्तीय रूप (Cartesian Form): यदि बिंदु और हों:

3. दो रेखाओं के बीच का कोण (Angle Between Two Lines) ​

यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात क्रमशः और हों, तो उनके बीच का न्यूनकोण ():

महत्वपूर्ण शर्तें (Most Important for Exam): ​

1. लंबवत होने की शर्त (Perpendicular Lines): यदि हो:
2. समांतर होने की शर्त (Parallel Lines): यदि हो:

4. दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी (Shortest Distance Between Two Lines) ​

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ जो न तो समांतर होती हैं और न ही कभी प्रतिच्छेद करती हैं, विषमतलीय रेखाएँ (Skew Lines) कहलाती हैं।

क) विषमतलीय रेखाओं के बीच की दूरी: ​

माना दो रेखाएँ और हैं:

• नोट: यदि न्यूनतम दूरी आ जाए, तो इसका अर्थ है कि दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद (Intersect) करती हैं।

ख) समांतर रेखाओं के बीच की दूरी: ​

माना दो समांतर रेखाएँ और हैं (यहाँ दोनों का समांतर सदिश समान है):

🚀 JEE / NDA / BOARD के लिए विशेष टिप्स (Quick Tricks) ​

1. रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु: कार्तीय रूप वाली दोनों रेखाओं को क्रमशः और के बराबर रखकर व्यापक बिंदु निकालें। दोनों से की तुलना कर और का मान ज्ञात करें।
2. अक्षों के दिक्-कोसाइन: सीधा ऑब्जेक्टिव प्रश्न पूछा जाता है:
   • -अक्ष के दिक्-कोसाइन:
   • -अक्ष के दिक्-कोसाइन:
   • -अक्ष के दिक्-कोसाइन:
3. चिह्न की सावधानी: कार्तीय रूप का उपयोग करते समय हमेशा सुनिश्चित करें कि के गुणांक (Coefficients) धनात्मक हों। यदि समीकरण दिया है, तो इसे पहले में बदलें।