1. वास्तविक संख्याएँ
प्रश्नावली 1.1
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिएः (a) 135 और 225 (b) 196 और 38220 (c) 867 और 255
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b (जहाँ a > b) के लिए:
a = bq + r, जहाँ 0 <= r < b (यहाँ q भागफल और r शेषफल है)।
यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि शेषफल (r) शून्य (0) न हो जाए। जिस चरण में शेषफल 0 प्राप्त होता है, उसका भाजक ही HCF होता है।
(a) 135 और 225 का HCF यहाँ 225 > 135 है। इसलिए, a = 225 और b = 135 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर:
- चरण 1: 225 = 135 * 1 + 90 (यहाँ शेषफल 90 != 0 है)
- चरण 2: 135 = 90 * 1 + 45 (यहाँ शेषफल 45 != 0 है)
- चरण 3: 90 = 45 * 2 + 0 (यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है)
चूँकि अंतिम चरण का भाजक 45 है, इसलिए:
135 और 225 का HCF = 45
(b) 196 और 38220 का HCF यहाँ 38220 > 196 है। इसलिए, a = 38220 और b = 196 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर:
- चरण 1: 38220 = 196 * 195 + 0 (यहाँ पहले ही चरण में शेषफल 0 प्राप्त हो गया है)
चूँकि इस चरण का भाजक 196 है, इसलिए:
196 और 38220 का HCF = 196
(c) 867 और 255 का HCF यहाँ 867 > 255 है। इसलिए, a = 867 और b = 255 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर:
- चरण 1: 867 = 255 * 3 + 102 (यहाँ शेषफल 102 != 0 है)
- चरण 2: 255 = 102 * 2 + 51 (यहाँ शेषफल 51 != 0 है)
- चरण 3: 102 = 51 * 2 + 0 (यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है)
चूँकि अंतिम चरण का भाजक 51 है, इसलिए:
867 और 255 का HCF = 51
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है। [संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
प्रश्नावली 1.2
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिएः (a) 140 (b) 156 (c) 3825 (d) 5005 (e) 7429
पूर्णांकाें के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है। (a) 26 और 91 (b) 510 और 92 (c) 336 और 54
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिएः (a) 12, 15 और 21 (b) 17, 23 और 29 (c) 8, 9 और 25
HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?
सिद्ध कीजिए कि
सिद्ध कीजिए कि 3 +
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैंः (a)
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