🔤 अध्याय 3: दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
कक्षा 9 में हमने दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण (जैसे—
1. रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक/मानक रूप (Standard Form) 📊🧱
दो चरों (
(जहाँ
2. अनुपातों की तुलना और ग्राफ़ीय/बीजगणितीय निरूपण 🛣️⚡⭐⭐⭐⭐⭐⭐
यह तालिका इस पूरे अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण भाग है। यहाँ से बिहार बोर्ड, सीबीएसई और सभी प्रतियोगी परीक्षाओं में शत-प्रतिशत (100%) प्रश्न पूछे जाते हैं:
| अनुपातों की तुलना | ग्राफ़ीय निरूपण (Graph) 📈 | बीजगणितीय निरूपण (हल) 🧮 | संगत / असंगत (Consistency) ⚖️ |
|---|---|---|---|
| $$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$$ | प्रतिच्छेदी रेखाएँ (एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटती हैं) | अद्वितीय हल (केवल और केवल एक हल - | संगत (Consistent) ⭐⭐⭐ |
| $$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$$ | संपाती रेखाएँ (एक रेखा के ऊपर ही दूसरी रेखा होती है) | अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely many solutions) | संगत (आश्रित संगत) |
| $$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$$ | समांतर रेखाएँ 🛣️ (रेखाएँ कभी आपस में नहीं मिलतीं) | कोई हल नहीं (No solution) | असंगत (Inconsistent) ⭐⭐⭐ |
3. रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की विधियाँ (Methods of Solving) 🛠️🧮
समीकरण युग्म को हल करने के लिए दो मुख्य प्रकार की विधियाँ होती हैं:
- आलेखी (ग्राफीय) विधि (Graphical Method): ग्राफ पेपर पर दोनों रेखाएँ खींचकर कटान बिंदु ढूंढना।
- बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods) ⭐⭐⭐⭐⭐:(नोट: NCERT के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार वज्र-गुणन विधि को हटा दिया गया है। अब केवल दो ही विधियाँ मुख्य हैं):
- क) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
- ख) विलोपन विधि (Elimination Method)
क) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) 🔄:
इस विधि में एक समीकरण से एक चर (जैसे
🧮 उदाहरण द्वारा समझें: समीकरण युग्म को हल करें:
और
- हल:
- दूसरे समीकरण
से का मान निकालें: —(समीकरण 3) का यह मान पहले समीकरण ( ) में रखने पर: का मान समीकरण 3 में रखने पर: - उत्तर: अभीष्ट हल
है।
ख) विलोपन विधि (Elimination Method) 🪓 सबसे लोकप्रिय व तेज विधि ⭐⭐⭐⭐⭐⭐:
इस विधि में किसी एक चर (या तो
🧮 उदाहरण द्वारा समझें: समीकरण युग्म को हल करें:
और
- हल:
- चर
को विलोपित करने के लिए, पहले समीकरण को से और दूसरे समीकरण को से गुणा करते हैं ताकि का गुणांक दोनों में हो जाए: का मान पहले समीकरण ( ) में रखने पर: - उत्तर: अभीष्ट हल
है।
4. इबारती प्रश्न (Word Problems) हल करने की विशेष मार्गदर्शिका 📝🚶♂️⛵⭐⭐⭐⭐⭐
दीर्घ-उत्तरीय प्रश्नों (
- अंकों और संख्याओं वाले प्रश्न 🔢: दो अंकों की संख्या का प्ररूपी रूप हमेशा
माना जाता है (जहाँ $x = $ इकाई का अंक और $y = $ दहाई का अंक है)। अंकों को पलटने पर बनी संख्या होती है। - आयु (Age) वाले प्रश्न 👵👴: यदि किसी की वर्तमान आयु
वर्ष है, तो: वर्ष बाद / पश्चात् की आयु वर्ष (जोड़ना है)। वर्ष पूर्व / पहले की आयु वर्ष (घटाना है)।
- नाव और धारा (Upstream & Downstream) वाले प्रश्न 🚣♂️🌊 [가장 High Repeated]: माना शांत जल में नाव की चाल
तथा धारा की चाल है। - धारा की अनुप्रवाह (दिशा में / Downstream) चाल: चालें जुड़ जाएँगी
। - धारा की ऊर्ध्वप्रवाह (विपरीत दिशा में / Upstream) चाल: चालें घट जाएँगी
। (सूत्र: का उपयोग करके समीकरण बनाते हैं)।
- धारा की अनुप्रवाह (दिशा में / Downstream) चाल: चालें जुड़ जाएँगी
🚀 परीक्षा और प्रतियोगिता विशेष शार्टकट ट्रिक्स (Quick Revision Guide) 🧙♂️✨
- अज्ञात स्थिरांक (
या ) का मान निकालने की ट्रिक ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: परीक्षा में अक्सर पूछा जाता है: " के किस मान के लिए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा?" - विधि: 'कोई हल नहीं' की शर्त रखें:
। पहले दो भागों को तिरछा गुणा (Cross multiply) करके का मान तुरंत निकाल लें।
- विधि: 'कोई हल नहीं' की शर्त रखें:
- विलोपन विधि में जोड़ने या घटाने का नियम ➕➖:
- यदि दोनों समीकरणों में जिस चर को काटना है उसके चिह्न समान हैं (जैसे दोनों जगह
या दोनों जगह ), तो समीकरणों को हमेशा घटाएँ (घटाने से नीचे के चिह्न बदल जाते हैं और वे कट जाते हैं)। - यदि चिह्न पहले से विपरीत हैं (एक जगह
और दूसरी जगह ), तो सीधे जोड़ें (बिना चिह्न बदले कट जाएँगे)।
- यदि दोनों समीकरणों में जिस चर को काटना है उसके चिह्न समान हैं (जैसे दोनों जगह
- ग्राफीय विधि की सावधानी 📐: ग्राफ पेपर पर लाइन खींचते समय बिंदुओं के निर्देशांक अत्यंत परिशुद्ध होने चाहिए। दोनों रेखाएँ जहाँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही बिंदु
आपका उत्तर होता है। यदि समांतर रेखाएँ आएं तो 'कोई हल नहीं' लिखें।
Join the Discussion