Class 10 Maths Chapter 7 Solutions in Hindi

7. निर्देशांक ज्यामिति ​

उदाहरण ​

प्रश्‍नावली 7.1 ​

1. बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिएः (a) (2, 3), (4, 1) (b) (– 5, 7), (– 1, 3) (c) (a, b), (– a, – b)
2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (– 2, – 11) संरेखी हैं।
4. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, – 2), (6, 4) और (7, – 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है।
6. निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिएः (a) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0) (b) (– 3, 5), (3, 1), (0, 3), (– 1, – 4) (c) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, – 5) और (– 2, 9) से समदूरस्थ हैं।
8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2, – 3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
9. यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, – 3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
10. x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (– 3, 4) से समदूरस्थ हो।

प्रश्‍नावली 7.2 ​

1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (– 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
2. बिंदुओं (4, – 1) और (– 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?
4. बिंदुओं (– 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (– 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1, – 5) और B(– 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
6. यदि बिंदु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए।
7. बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
8. यदि A और B क्रमशः (– 2, – 2) और (2, – 4) हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।
9. बिंदुओं A(– 2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (– 1, 4) और (– 2, – 1) हैं। [संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = (उसके विकर्णों का गुणनफल)]

प्रश्‍नावली 7.3 ​

1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं: (a) (2, 3), (– 1, 0), (2, – 4) (b) (– 5, – 1), (3, – 5), (5, 2)
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में 'k' का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हो (a) (7, – 2), (5, 1), (3, k) (b) (8, 1), (k, – 4), (2, – 5)
3. शीर्षों (0, – 1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (– 4, – 2), (– 3, – 5), (3, – 2) और (2, 3) हैं।
5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, – 6), B(3, – 2) और C(5, 2) हैं।

प्रश्‍नावली 7.4 (ऐच्छिक)* ​

1. बिंदुओं A(2, – 2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।
3. बिंदुओं (6, – 6), (3, – 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।
4. किसी वर्ग के दो सम्मख शीर्ष (– 1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
5. कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति 7.14 में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं। (a) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (b) यदि मूलबिंदु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे? साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि है। ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए। (प्रमेय 6.2 और प्रमेय 6.6 का स्मरण कीजिए।)
7. मान लीजिए A (4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। (a) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (b) AD पर स्थित ऐसे बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो। (c) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो। (d) आप क्या देखते हैं? [नोट : वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।] (e) यदि A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
8. बिंदुओं A(– 1, – 1), B(– 1, 4), C(5, 4) और D(5, – 1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।