Class 11 Math Chapter 5 Notes Hindi NCERT

🔀 अध्याय 6: रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities) ​

कक्षा 10 तक हमने केवल 'समीकरणों' (जैसे या ) का अध्ययन किया है, जहाँ बराबर () का चिह्न होता है। लेकिन वास्तविक जीवन में कई स्थितियाँ ऐसी होती हैं जहाँ दो राशियाँ आपस में बराबर नहीं होतीं, बल्कि एक राशि दूसरी से कम या अधिक होती है। गणित में ऐसे संबंधों को दर्शाने वाले व्यंजकों को असमिकाएँ कहते हैं।

1. असमिका क्या है और इसके मुख्य संकेत (Concept & Symbols) 🤔⚖️⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

• परिभाषा: "दो वास्तविक संख्याओं या बीजीय व्यंजकों के बीच जब बराबरी () के स्थान पर छोटे (), बड़े (), छोटे या बराबर () या बड़े या बराबर () के चिह्नों का प्रयोग किया जाता है, तो उसे असमिका कहते हैं।"
• रैखिक असमिका: ऐसी असमिका जिसमें प्रयुक्त चर (जैसे ) की अधिकतम घात (Power) हमेशा 1 होती है।

📊 असमिका के चार मुख्य संकेत (The 4 Operators): ​

1. , से छोटा है (Strict Inequality)।
2. , से बड़ा है।
3. , से छोटा है या उसके बराबर है (Slack Inequality) ⭐।
4. , से बड़ा है या उसके बराबर है।

2. असमिकाओं को हल करने के ३ स्वर्णिम नियम (Rules of Inequality) 📜🔥 सबसे Important ⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

असमिका को हल करने के नियम समीकरण की तरह ही होते हैं, लेकिन एक नियम ऐसा है जो पूरी बाजी पलट देता है। इन नियमों को ध्यान से समझें:

• नियम 1 (जोड़ और घटाव का नियम) ➕➖: किसी असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती।
  • जैसे: यदि (चिह्न वही रहा)।
• नियम 2 (धनात्मक गुणा/भाग का नियम) ✖️➗: किसी असमिका के दोनों पक्षों को एक समान धनात्मक (+) संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती।
  • जैसे: यदि (चिह्न वही रहा)।
• नियम 3 (ऋणात्मक गुणा/भाग का नियम - द डेंजर रूल) ⚠️🚨⭐⭐⭐⭐⭐⭐: "जब किसी असमिका के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक (-) संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, या दोनों पक्षों के चिह्न बदले जाते हैं, तो असमिका के चिह्न की दिशा उलट (Reverse) जाती है।" (बड़ा छोटे में और छोटा बड़े में बदल जाता है)।
  • जैसे: हम जानते हैं कि सत्य है। यदि हम दोनों ओर से गुणा करें, तो और प्राप्त होगा। अब संख्या रेखा पर कौन बड़ा है? बड़ा है! अतः असमिका का मुँह घूम जाएगा ।
  • गणितीय रूप: यदि ।

3. एक चर वाली रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल 🧮🔢⭐⭐⭐⭐⭐ ​

लिखित परीक्षा और छोटे प्रश्नों में एक चर वाली असमिका को हल करके उत्तर को अंतराल (Interval) या संख्या रेखा पर दिखाना होता है।

🧮 NCERT का सबसे महत्वपूर्ण आंकिक प्रश्न (Step-by-Step Numerical) ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

🧮 प्रश्न: असमिका को वास्तविक संख्या के लिए हल कीजिए तथा हल को संख्या रेखा पर दर्शाइए।

• हल:
  1. दी गई असमिका लिखें:
  2. चर पदों को बाईं ओर और अचर पदों को दाहिनी ओर ले जाने पर (पक्षांतरण):
  3. ⚠️ डेंजर रूल (नियम 3) लागू करने पर: दोनों पक्षों में से भाग देने पर असमिका का चिह्न उलट (Reverse) जाएगा:
  4. अंतराल के रूप में उत्तर (Range) 🎯: इसका अर्थ है कि का मान से छोटा कुछ भी हो सकता है (ऋणात्मक अनंत तक)। चूँकि यहाँ केवल 'छोटा' () का चिह्न है, अतः खुला अंतराल (Open Interval) लगेगा:
  5. संख्या रेखा पर निरूपण (Number Line) 📈: पर एक खोखला वृत्त (Open Circle / ○) बनाएँगे (जो दर्शाता है कि शामिल नहीं है) और रेखा को बाईं ओर अनंत तक गहरा (Dark) कर देंगे।

[Image]

<──────●───────────────○───────────────┼───────────────>-∞ -3 0 +∞[ रेखा -3 से बाईं ओर गहरे रंग की होगी, -3 पर खोखला गोला होगा ]

4. दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का आलेखी (ग्राफीय) हल 📈🎨⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

(विशेष नोट: NCERT के नवीनतम संशोधित पाठ्यक्रम (Rationalized Syllabus) के अनुसार, कक्षा 11 की नई पाठ्यपुस्तकों से 'दो चरों वाले असमिकाओं के ग्राफीय हल' और 'समीकरण निकायों के हल' (प्रान्श्यावली 6.2 और 6.3) को स्कूल पाठ्यक्रम से संक्षिप्त या हटाया गया है। लेकिन, JEE Main/Advanced, रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming - कक्षा 12) और पॉलिटेक्निक परीक्षाओं के लिए यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण आधार है।)

जब असमिका के रूप में हो, तो उसका हल एक रेखा न होकर एक पूरा अर्धतल क्षेत्र (Half-Plane Region) होता है।

📝 ग्राफ बनाने की जादुई "शून्य-शून्य" (0, 0) टेस्ट ट्रिक 🧙‍♂️✨: ​

1. चरण 1: सबसे पहले असमिका को समीकरण मानकर () अध्याय 3 की तरह ग्राफ पेपर पर एक सीधी सरल रेखा खींचें।
   • नियम ⚠️: यदि असमिका में या है, तो गहरी गाढ़ी रेखा (Solid Line) खींचें। यदि केवल या है, तो बिंदुदार रेखा (Dotted Line) खींचें (जो दर्शाती है कि रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं हैं)।
2. चरण 2 (0, 0 टेस्ट) 🎯⭐⭐⭐⭐⭐⭐: अब यह जाँचने के लिए कि रेखा के किस ओर (ऊपर या नीचे) का क्षेत्र हमारा उत्तर है, मूल बिंदु का मान असमिका में और की जगह रखें।
3. चरण 3:
   • यदि रखने पर असमिका सत्य (True) सिद्ध होती है, तो ग्राफ में मूल बिंदु की ओर वाले क्षेत्र को छायांकित (Shade/रंगना) करें।
   • यदि असमिका असत्य (False) सिद्ध होती है, तो मूल बिंदु के विपरीत (दूसरी ओर) वाले क्षेत्र को छायांकित करें।

🧮 ग्राफ का उदाहरण: असमिका का आलेखी हल निकालें।

• हल:
  1. रेखा खींचने के लिए दो बिंदु निकालें: और । इन्हें मिलाकर एक गाढ़ी रेखा खींचें।
  2. (0,0) टेस्ट: असमिका में रखने पर:
  3. चूँकि कथन सत्य है, अतः रेखा के नीचे मूल बिंदु की ओर वाले पूरे हिस्से को पेन्सिल से छायांकित (रंग) कर देंगे। यही इसका अभीष्ट हल क्षेत्र है।

5. मापांक असमिकाएं (Modulus Inequalities) 📐 [JEE Special Formula] 🚀 ​

प्रतियोगी परीक्षाओं (JEE Main/Advanced) के बहुविकल्पीय प्रश्नों में मापांक वाले सवाल बार-बार पूछे जाते हैं। समय बचाने के लिए इनके ये डायरेक्ट सूत्र याद रखें (माना ):

1. यदि $$\mathbf{|x| \le a \quad \implies \quad -a \le x \le a \quad \implies \quad x \in [-a, a]}$$ ⭐⭐⭐⭐⭐⭐
   • जैसे:
2. यदि $$\mathbf{|x| \ge a \quad \implies \quad x \le -a \ \text{ या } \ x \ge a \quad \implies \quad x \in (-\infty, -a] \cup [a, \infty)}$$
3. यदि

🚀 परीक्षा और प्रतियोगिता विशेष शार्टकट ट्रिक्स (JEE / Polytechnic Quick Guide) 🧙‍♂️✨ ​

1. माइनस (-) चिह्न को काटने की जल्दी न करें ❌⚠️: समीकरण में हम होने पर माइनस से माइनस सीधे काटकर लिख देते हैं। लेकिन असमिका में ऐसी गलती कभी न करें! यदि है, तो माइनस हटाने का मतलब है दोनों ओर से गुणा करना, जिससे असमिका का मुँह तुरंत घूम जाएगा ।
2. खुला और बंद अंतराल का चयन (Bracket Rule) 🔲⭕:
   • यदि असमिका में या है, तो हमेशा छोटा कोष्ठक (Open Interval) का प्रयोग करें।
   • यदि असमिका में या है, तो हमेशा बड़ा कोष्ठक (Closed Interval) का प्रयोग करें।
   • अनंत नियम 💡: अनंत ( या ) के साथ हमेशा छोटा कोष्ठक ही लगता है, क्योंकि अनंत को कभी बंद नहीं किया जा सकता।
3. व्युत्क्रम (उल्टा करने) पर चिह्न बदलना [JEE Hot-Concept] 🚀: यदि दोनों ओर की संख्याएँ समान चिह्न की हैं और हम उनका व्युत्क्रम (Reciprocal) करते हैं, तो भी असमिका का चिह्न उलट जाता है।
   • जैसे: हम जानते हैं कि सत्य है। यदि दोनों को उल्टा करें, तो और ( और ) प्राप्त होगा। अब कौन बड़ा है? बड़ा है! अतः: ।