Class 10 Maths Chapter 11 Notes in Hindi

📐 अध्याय 11: रचनाएँ (Constructions) ​

ज्यामिति में आकृतियों के सिद्धांतों को सिद्ध करना एक पहलू है, लेकिन उन्हें पटरी (Scale) और परकार (Compass) की सहायता से सटीक रूप से कागज पर उतारना एक कला है। इस अध्याय में हम मुख्य रूप से दो प्रकार की रचनाएँ सीखेंगे— (i) एक रेखाखंड का दिए गए अनुपात में विभाजन, और (ii) एक वृत्त पर बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाओं की रचना।

1. रेखाखंड का विभाजन (Division of a Line Segment) 🔀⛓️⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

यह इस अध्याय का पहला सबसे महत्वपूर्ण भाग है, जहाँ किसी दिए गए रेखाखंड को एक निश्चित अनुपात (जैसे या ) में विभाजित करना होता है।

📝 रचना के चरण (उदाहरण: एक रेखाखंड AB को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करना): ​

माना एक रेखाखंड दिया गया है जिसे हमें के अनुपात () में आंतरिक रूप से विभाजित करना है।

1. चरण 1: सबसे पहले दी गई लंबाई का एक रेखाखंड खींचें।
2. चरण 2: बिंदु से नीचे की ओर एक न्यूनकोण (Acute Angle) बनाती हुई कोई किरण खींचें ()।
3. चरण 3 ⭐⭐⭐: दोनों अनुपातों को जोड़ें: । अब परकार पर कोई भी सुविधाजनक दूरी (त्रिज्या) लेकर किरण पर समान दूरी पर 5 बिंदु अंकित करें, इस प्रकार कि हो।
4. चरण 4: पटरी की सहायता से अंतिम बिंदु को से मिला दें (रेखाखंड खींचें)।
5. चरण 5 ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: चूँकि पहला अनुपात है, इसलिए बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा के समांतर () खींचें, जो रेखाखंड को बिंदु पर प्रतिच्छेद करे।
   • (समांतर रेखा खींचने की ट्रिक: बिंदु पर परकार से एक चाप लगाएँ, बिना त्रिज्या बदले वही चाप पर लगाएँ। अब के चाप की चौड़ाई मापकर के चाप को काट लें।)
6. चरण 6: यह बिंदु ही रेखाखंड को अभीष्ट अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात:

A ─────────• C ─────── B (रेखाखंड AB)/          //          / (समांतर रेखा)• A₁       //          /• A₂       //          /• A₃ ──────┘/• A₄/• A₅/X (किरण AX)

2. एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना (Tangents to a Circle) ⭕📌⭐⭐⭐⭐⭐⭐ ​

यह खंड बोर्ड परीक्षाओं में 5 अंकों के दीर्घ-उत्तरीय प्रश्नों में सबसे अधिक पूछा जाने वाला टॉपिक है। इसमें वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचनी होती हैं।

📝 रचना के चरण (बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ खींचना): ​

माना त्रिज्या का एक वृत्त है जिसका केंद्र है, और केंद्र से कुछ दूरी पर एक बाह्य बिंदु स्थित है, जहाँ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।

1. चरण 1: सबसे पहले दिए गए माप की त्रिज्या का एक वृत्त खींचें जिसका केंद्र हो।
2. चरण 2: केंद्र से दिए गए माप की दूरी पर बाह्य बिंदु अंकित करें और पटरी से रेखाखंड खींचें।
3. चरण 3 ⭐⭐⭐⭐⭐⭐: अब रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector) खींचें। इसके लिए और से आधे से अधिक दूरी का चाप ऊपर-नीचे लगाएँ। माना यह लम्ब समद्विभाजक को उसके मध्य-बिंदु पर काटता है।
4. चरण 4 ⭕: अब इस मध्य-बिंदु को केंद्र मानकर तथा (या ) को त्रिज्या लेकर एक नया वृत्त खींचें।
5. चरण 5 📍: यह नया वृत्त, पहले वाले मूल वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगा। इन कटान बिंदुओं को क्रमशः और नामांकित करें।
6. चरण 6 ✍️: पटरी की सहायता से बाह्य बिंदु को से तथा को से मिलाती हुई सीधी रेखाएँ खींचें।
7. निष्कर्ष: यही और बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। (प्रमेय 10.2 के अनुसार नापने पर दोनों की लंबाई हमेशा बराबर आएगी: )।

[Image]

Q (कटान बिंदु)•───────┐/ │बाह्य बिंदु P • M • │ O (केंद्र)\ │•───────┘R (कटान बिंदु)[ मध्य-बिंदु M को केंद्र मानकर खींचा गया नया वृत्त ][ मूल वृत्त को Q और R पर काटता है, जिससे PQ और PR मिलती हैं ]

3. एक विशेष और कठिन रचना: दिए गए अन्य वृत्त के केंद्र की खोज करके स्पर्श रेखा खींचना 🕵️‍♂️⭕ ​

कई बार परीक्षाओं में घुमावदार प्रश्न पूछा जाता है: "चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए और इसके बाहर एक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।"

• समस्या ❓: चूँकि वृत्त चूड़ी या किसी गोल बर्तन से खींचा गया है, इसलिए हमें उसका केंद्र () ज्ञात नहीं होता। बिना केंद्र के हम रेखाखंड नहीं खींच सकते।
• समांतर शार्टकट ट्रिक (केंद्र खोजने की विधि) ⚙️⭐⭐⭐⭐⭐:
  1. वृत्त के अंदर कोई भी दो असमान समांतर जीवाएँ (Chords) और खींचें।
  2. इन दोनों जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक खींचें।
  3. ये दोनों लम्ब समद्विभाजक रेखाएँ अंदर जहाँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करेंगी (काटेंगी), वही बिंदु उस वृत्त का वास्तविक केंद्र () होगा।
  4. केंद्र मिलने के बाद ऊपर दी गई 'स्पर्श रेखा की रचना' के सभी चरणों का पालन करके स्पर्श रेखाएँ खींच लें।

🚀 परीक्षा में फुल-मार्क्स (5/5) प्राप्त करने के गुप्त नियम (Exam Secrets) 🧙‍♂️✨ ​

रचना वाले प्रश्नों में परीक्षक (Examiner) नंबर कहाँ काटते हैं और पूरे अंक कैसे प्राप्त करें, इसके 4 स्वर्णिम नियम:

1. "रचना के चरण" लिखना 100% अनिवार्य है 📝⭐⭐⭐⭐⭐⭐: बोर्ड परीक्षाओं (विशेषकर बिहार बोर्ड) में केवल चित्र बना देने से पूरे अंक नहीं मिलते। चित्र के ठीक नीचे या बगल में "रचना के चरण" (Steps of Construction) बिंदुवार () सरल हिंदी में अवश्य लिखें। इसके स्वतंत्र अंक निर्धारित होते हैं।
2. रचना की रेखाओं को न मिटाएँ ⚠️: कई छात्र चित्र को साफ दिखाने के चक्कर में परकार द्वारा लगाए गए चाप (Arcs) या लम्ब समद्विभाजक की हल्की रेखाओं को रबर (Eraser) से मिटा देते हैं। यह बहुत बड़ी गलती है! परीक्षक इन्हीं चापों को देखकर समझता है कि आपने परकार का सही उपयोग किया है या नहीं। सभी रचनात्मक चाप स्पष्ट दिखने चाहिए।
3. पेंसिल और उपकरणों की परिशुद्धता 🧼: आपकी पेंसिल अत्यधिक नुकीली (Sharp) होनी चाहिए। यदि रेखाएँ बहुत मोटी होंगी, तो कटान बिंदु खिसक जाएगा और स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ असमान हो जाएँगी। परकार का ढीला होना भी चित्र बिगाड़ देता है, अतः उसे कसकर रखें।
4. औचित्य (Justification - यदि पूछा जाए): कुछ प्रश्नों में रचना का औचित्य (प्रमाण) देने को कहा जाता है। जैसे स्पर्श रेखा वाले सवाल में को से मिलाकर लिख दें कि (अर्धवृत्त का कोण होने के कारण), और चूँकि त्रिज्या है, अतः को स्पर्श रेखा होना ही पड़ेगा (प्रमेय 10.1 से)।