🔢 अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number System) ​

गणित की इस जादुई दुनिया में संख्याओं को उनकी प्रकृति और गुणों के आधार पर विभिन्न समूहों में बाँटा गया है। कक्षा 9 में संख्याओं की समझ को गहरा करने के लिए यह अध्याय सबसे महत्वपूर्ण नींव है।

1. संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers) 📊🧭 ​

आइए सबसे पहले विभिन्न प्रकार की संख्याओं को उनके प्रतीकों के साथ समझते हैं:

क) प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers - N) 1️⃣: ​

• गिनती वाली संख्याओं को प्राकृत संख्याएँ कहते हैं। यह से शुरू होकर अनंत तक जाती हैं।

ख) पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers - W) 0️⃣: ​

• यदि प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य (0) को भी शामिल कर लिया जाए, तो वे पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं।(💡 फैक्ट: प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या नहीं होती क्योंकि 0 प्राकृत संख्या नहीं है).

ग) पूर्णांक (Integers - Z) ➖➕: ​

• सभी पूर्ण संख्याएँ तथा ऋणात्मक संख्याएँ मिलकर पूर्णांकों का संग्रह बनाती हैं। (यहाँ जर्मन शब्द 'Zahlen' से लिया गया है, जिसका अर्थ है 'गिनना')।

घ) परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers - Q) 🍰⭐: ​

यह परीक्षा के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण है:

• परिभाषा: "वे संख्याएँ जिन्हें के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ और दोनों पूर्णांक हैं तथा (हर शून्य नहीं होना चाहिए), परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।" (यहाँ शब्द 'Quotient' से आया है)।
• उदाहरण: (क्योंकि इसे लिख सकते हैं), (क्योंकि इसे लिख सकते हैं)।

🎯 बिहार बोर्ड/CBSE वस्तुनिष्ठ विशेष प्रश्न: क्या शून्य () एक परिमेय संख्या है? उत्तर: हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे आदि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ है।

ङ) अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) 🌀⭐⭐: ​

• परिभाषा: "वे संख्याएँ जिन्हें के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ और पूर्णांक हैं तथा , अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।"
• उदाहरण: (पाई) तथा
• ⚠️ नोट: यदि करणी (रूट) के अंदर कोई पूर्ण वर्ग संख्या न हो, तो वह अपरिमेय होती है। (जैसे एक परिमेय संख्या है, लेकिन अपरिमेय है)।

च) वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers - R) 🌍👑: ​

• सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के सम्मिलित संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं। संख्या रेखा (Number Line) पर उपस्थित प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या को दर्शाता है।

2. दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करना 🧮🔢⭐ ​

यह परीक्षा का एक बहुत ही लोकप्रिय लघु-उत्तरीय प्रश्न है। दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत (Infinite) परिमेय संख्याएँ होती हैं।

🧙‍♂️ शॉर्टकट विधि (जब हर समान हो या प्राकृत संख्या हो): ​

माना हमें और के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं:

1. जितनी संख्याएँ निकालनी हैं (), उसमें जोड़ें: ।
2. अब दोनों संख्याओं के अंश और हर में से गुणा करें:
3. अब और के बीच की संख्याएँ आसानी से लिख लें:

3. वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार (Decimal Expansions) 📊🫧⭐⭐⭐⭐⭐ ​

वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार मुख्य रूप से तीन प्रकार के होते हैं, जो यह तय करते हैं कि संख्या परिमेय है या अपरिमेय:

[Image]

[ दशमलव प्रसार के प्रकार ]│————————————————-│ │1. शांत (Terminating) 2. असांत (Non-terminating)(भाग देने पर शेषफल 0 हो जाए) (भाग कभी खत्म न हो)│———————–│ │क) असांत आवर्ती ख) असांत अनावर्ती(Repeating) (Non-repeating)

क) परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Rational Number's Suffix): ​

परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार दो ही प्रकार का हो सकता है:

1. शांत (Terminating): जिसमें कुछ चरणों के बाद शेषफल शून्य (0) हो जाता है।
   • उदाहरण: , ।
2. असांत आवर्ती (Non-terminating Recurring / Repeating) 🔄: जिसमें भाग कभी समाप्त नहीं होता, लेकिन भागफल में अंकों का एक समूह बार-बार दोहराया जाता है। इसे दर्शाने के लिए संख्या के ऊपर 'बार' () लगाया जाता है।
   • उदाहरण:

ख) अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

• असांत अनावर्ती (Non-terminating Non-recurring): इसमें भाग न तो कभी समाप्त होता है और न ही अंकों की कोई निश्चित पुनरावृत्ति (रिपीट) होती है। नए-नए अंक आते जाते हैं।
• "सभी अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार हमेशा असांत अनावर्ती होता है।"
• उदाहरण:
• (⚠️ नोट: गणना के लिए हम लेते हैं, लेकिन परिमेय है जबकि वास्तविक अपरिमेय है)।

4. असांत आवर्ती दशमलव को के रूप में बदलना 🧮✍️⭐⭐⭐⭐⭐ ​

यह बोर्ड परीक्षाओं में दीर्घ/लघु उत्तरीय प्रश्नों में 100% पूछा जाने वाला प्रश्न है।

📝 हल करने का तरीका (उदाहरण: को में बदलें): ​

1. माना —(समीकरण 1)
2. चूँकि केवल एक अंक () दोहराया जा रहा है, इसलिए दोनों पक्षों में से गुणा करने पर (यदि दो अंक दोहराए जाएँ तो से गुणा करें):

🚀 शॉर्टकट ट्रिक (Competitive/Objective Exams के लिए) ⚡:

• दशमलव के बाद जितने अंकों पर 'बार' () है, नीचे उतने ही नौ (9) लिख दें।
• जैसे:
• जैसे:
• जैसे: (बिना बार वाला अंक घटाएं और नीचे उतने 0 लगाएं)।

5. वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ और हर का परिमेयकरण 🧪💥⭐⭐⭐⭐⭐ ​

अपरिमेय संख्याओं को जोड़ते, घटाते या गुणा करते समय करणी (रूट) के नियमों का पालन किया जाता है:

• (समान रूट वाले ही आपस में जुड़ते हैं; जैसे )।
• (जैसे )।
• (जैसे ) ⭐⭐⭐।

🛡️ हर का परिमेयकरण (Rationalizing the Denominator) ⭐⭐⭐⭐⭐: ​

जब किसी भिन्न के हर (Denominator) में कोई अपरिमेय संख्या (रूट) होती है, तो उसे हटाने की प्रक्रिया को हर का परिमेयकरण कहते हैं।

• प्रकार 1 (सरल रूप): का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर में से गुणा करें:
• प्रकार 2 (संयुग्मी रूप - कान्जुगेट) ⭐⭐⭐⭐⭐: का परिमेयकरण करने के लिए हर का चिह्न बदलकर (+ का - करके) अंश और हर में गुणा करते हैं (सर्वसमिका का उपयोग होता है):

6. वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम (Laws of Exponents) 🔋⚡⭐⭐⭐⭐⭐ ​

आंकिक प्रश्नों को हल करने के लिए घातांक के ये 4 बुनियादी नियम बहुत महत्वपूर्ण हैं (इन्हें याद कर लें):

1. गुणा का नियम (आधार समान होने पर घातें जुड़ती हैं):उदाहरण:
2. भाग का नियम (आधार समान होने पर घातें घटती हैं):
3. घात के ऊपर घात का नियम:उदाहरण:
4. घात समान लेकिन आधार भिन्न होने पर:उदाहरण:
5. ऋणात्मक घात और शून्य घात का नियम ⭐:

🚀 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण शार्टकट हाइलाइट्स (BSEB / CBSE Key Notes) ​

• परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय ⚠️: एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़, घटाव, गुणा या भाग हमेशा एक अपरिमेय संख्या ही होता है। (जैसे या अपरिमेय हैं)।
• संख्या रेखा पर स्थान निर्धारण: या को संख्या रेखा पर दर्शाने के लिए पाइथागोरस प्रमेय () का उपयोग करके लंबवत चाप लगाया जाता है।
• घातांक न्यूमेरिकल ट्रिक 🧮: यदि प्रश्न में दिया हो, तो सबसे पहले आधार (64) का अभाज्य गुणनखंड करें। , अतः ।