अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल ​

प्रश्‍नावली 9.1 ​

1. निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए। (a) (b) (c) (d) (e) (f)

प्रश्‍नावली 9.2 ​

1. आकृति 9.15 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE DC और CF AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।
2. यदि E,F,G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, तो दर्शाइए कि ar(EFGH) = ar(ABCD) है।
3. P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ar(APB) = ar(BQC) है।
4. आकृति 9.16 में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि (a) ar(APB) + ar(PCD) = ar(ABCD) (b) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
   [संकेत : P से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए। ]
5. आकृति 9.17 में, PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि (a) ar(PQRS) = ar(ABRS) (b) ar(AXS) = ar(PQRS)
6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?

प्रश्‍नावली 9.3 ​

1. आकृति 9.23 में, ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACE) है।
2. ∆ ABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = ar(ABC) है।
3. दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलोें वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
4. आकृति 9.24 में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिन्दु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
5. D, E और F क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि (i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है (ii) ar(DEF) = ar(ABC) (iii) ar(BDEF) = ar(ABC)
6. आकृति 9.25 में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि (i) ar(DOC) = ar(AOB) (ii) ar(DCB) = ar(ACB) (iii) DA ∥ CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
   [संकेत : D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]
7. बिन्दु D और E क्रमश: ABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE ∥ BC है।
8. XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यदि BE ∥ AC और CF ∥ AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि: ar(ABE) = ar(ACF)
9. समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (देखिए आकृति 9.26)। दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है। [संकेत : AC और PQ को मिलाइए। अब ar(ACQ) और ar(APQ) की तुलना कीजिए।]
10. एक समलंब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है।
11. आकृति 9.27 में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि (a) ar(ACB) = ar(ACF) (b) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
12. गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
13. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar(ADX) = ar(ACY) है। [संकेत : CX को मिलाइए।]
14. आकृति 9.28 में, AP ∥ BQ ∥ CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
15. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar(AOD) = ar(BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
16. आकृति 9.29 में, ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।

प्रश्‍नावली 9.4 (ऐच्छिक)* ​

1. समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
2. आकृति 9.30 में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC) है। क्या आप अब उस प्रश्‍न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की 'भूमिका' में छोड़ दिया था कि "क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है"? [टिप्पणी: ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से ∆ABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिन्दुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिला कर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
3. आकृति 9.31 में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।
4. आकृति 9.32 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिन्दु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि ar
   (BPC) = ar (DPQ) है। [संकेत : AC को मिलाइए।]
5. आकृति 9.33 में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि (a) ar(BDE) = 1/4 ar(ABC) (b) ar(BDE) = ar(BAE) (c) ar(ABC) = 2 ar(BEC) (d) ar(BFE) = ar(AFD) (e) ar(BFE) = 2 ar(FED) (f) ar(FED) = ar(AFC)
   [संकेत : EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE ∥ AC और DE ∥ AB है, इत्यादि।]
6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
   [संकेत : A और C से BD पर लम्ब खींचिए।]
7. P और Q क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखंड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि: (a) ar (PRQ) = ar (ARC) (b) ar (RQC) = ar(ABC) (c) ar (PBQ) = ar (ARC)
8. आकृति 9.34 में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड AXDE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि: (a) ∆ MBC = ∆ ABD (b) ar(BYXD) = 2 ar(MBC) (c) ar(BYXD) = ar(ABMN) (d) ∆ FCB = ∆ ACE (e) ar(CYXE) = 2 ar(FCB) (f) ar(CYXE) = ar(ACFG) (g) ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG) [ टिप्पणी : परिणाम (vii) प्रसिद्ध (सुपरिचित) पाइथागोरस प्रमेय है। इस प्रमेय की एक सरलतम उपपत्ति आप कक्षा X में पढ़ेंगे।]